圆锥曲线与向量小题答案

圆锥曲线小题专项训练
1．已知抛物线x y 82
=的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线
F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ C ）
【解析】本题考查抛物线，双曲线的标准方程、几何性质及平面几何知识.
抛物线x y 82
=的准线为2,x =-焦点为(2,0);F 焦点到准线的距离为4；根据抛物线和双曲线的对称性及条件FAB ∆是直角三角形可知：FAB ∆是等腰直角三角形，0
90,AFB ∠=斜边AB 上的高为4；
则(2,4),(2,4);A B ---A B 、是双曲线22
221x y a b
-=上的点，
所以22416
1a b b a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22
2,16.a b ==
2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换ϕ为（ B ）
C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩
【解析】设伸缩变换ϕ为,(,0)x hx
h k y ky '=⎧>⎨'=⎩
,
3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也
在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于
则直线AB 的方程是 ( A ) ．
A ．【解析】设()()12,0,,0F c F c -，则0212=⋅F F AF 知212AF F F ⊥
， 则2//AF y 轴，所以2,b
A c a
⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
由0=+OB
OA 知
,A B 关于原点对称，则2,b A c ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭。

所以直线AB
的方程是2
b y x
ac
=
c a
，即a 又222a b c =+，则b c =，则22b ac ==所以直线AB 的方程是y =
5．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。

”由此可得如下结
论：如右图，过双曲线C ：
右支上的点P 的切线l 平
分
12F PF ∠。

现过原点作l 的平行线交1PF 于M ，则||MP 等于（
A ） A ．a
B ．b
C
D ．与点P 的位置有关
6e 右焦点为F (c ,0)，方程ax 2
＋bx －c ＝
0的两个实根
分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2) （ A ）
A ．必在圆x 2＋y 2＝2内
B ．必在圆x 2＋y 2
＝2上
C ．必在圆x 2＋y 2
＝2外 D ．以上三种情形都有可能
7．如图，在
ΔABC
C
，以A 、H 为焦点的双曲线
的离心率为 （ A ）
A ．2
B ．3
C
D 8F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，则此双
曲线的离心率的取值范围是（ D ）
A ．(]1,2
B ．(1,)+∞
C ．（1，3）
D ．[)2,+∞
9．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,
则此双曲线的离心率
e 的最大值为（B ） A.
34 B. 35 C.2 D. 3
7
10
M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM 的斜率取值范围是
PN 的斜率的取值范围是( B )
B ．
C ． ]2,8[--
D ． ]8,2[
【解析】由已知得)0,2(),0,2(N M -，设),(00y x P ，则
11．设2
2
1a b +=，()0b ≠，
若直线2ax by
+=和椭圆（ C ） A 、 B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-.
【解析】代入椭圆方程并整理得，()2222
3121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()(
)()2
2
2
2
12431260a a b
b -+-≥，
利用221a b +=
，化简得22a b ≥，所以
12．已知实系数方程
2
(1)10x a x a b +++++=的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，值范围是（ C ）
A ．(2,1)-- B
D ．(2,)-+∞
13．如图，已知点B x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M
，点P 在y 轴
上，且PM//x 轴，9=⋅BM
BP ，若点P 的坐标为（0，t ），则t 的取值范围是（ C ）
A ．0<t<3
B ．0<t ≤3
C
D ．0<t 14. 已知圆O 的半径为1，PA,PB 为该圆的两条切线，A,B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为（ D ） A ．24+
- B ．23+- C ．224+-
D ．223+-
15.已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+
e R b a b
y a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围
是_________．
【解析】
2c a ≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22
13b a ≤≤
，得1b
a
≤≤∴
4
3
π
π
θ≤≤
16．给定椭圆122
22=+b
y a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则离心率e 的
取值范围是_________. 解析：⎪
⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡-1,215。

设点P 坐标为(r 1cos θ,r 1sin θ),点Q 坐标为(-r 2sin θ,r 2cos θ)， 因为P ，Q 在椭圆上，可得2222211
111b a r r +=+，Rt ΔOPQ 斜边上的高为2
2
22
2121b
a a
b r r r r +=+≤|OF|=c.
所以a 2b 2≤c 2(a 2+b 2
)，解得
2
1
5-≤e<1. 向量小题专项训练
1．已知向量21e e +=，2122e e -=，则1e 与2e 共线是与共线的（ C ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件
解：显然，若1e 与2e 共线，则a 与b 共线；若a 与b 共线，则b a λ=，即21e e +2122e e λλ-=，得
)12()12(e e +=-λλ，∴e 与e 共线，∴e 与e 共线是a 与b 共线的充要条件，故选C 。

A.
B.
D.
值是（ C ）
A.
33 B.22 C.32 D.4
3 4．如图),(y x P 是边长为1的正方形内的一点，若PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆面积均不小于6
1
，则PAC AP ∠cos ||的最大值为（ A ）
A ．
32
2 B ．552 C ．32 D ．2
2 5．如图抛物线C 1：y 2
＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2
4，其中p >0，直线l 经过抛物线C 1的焦点，依次交抛
物线C 1，圆C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →
的值为( A ) A.p 24 B. p 23 C.p 2
2
D ．p 2
【解析】 当l 斜率存在时，设l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立消去y 得k 2x 2－(pk 2
＋2p )x ＋p 2k 2
4＝0，
设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p
2
＝x 1，
同理|CD |＝x 2，∴AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1x 2＝p 24；当l ⊥x 轴时，易得|AB |＝|CD |＝p 2，∴AB →·CD →＝p
2
4
，
6.若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 .
)(1,3-∞- ()()14,0,33
-+∞ 7已知O 为ABC ∆的外心， 3,2==AC AB ，12=+y x ，若y AB x += )0(≠xy ，则
=∠BAC cos
4
3
. 8、设O 为△ABC 的内心，当AB=AC=5，BC=6时，n m +=，则n m +的值为_____16
15
___。

9.【2012高考真题上海理12】在平行四边形ABCD 中，3
π
=
∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、
N 分别是边BC 、CD |
||
|CD BC =
⋅的取值范围是 [2,5] 。

=
=λ（0≤λ≤1），则BC BM λ==AD λ,DC DN )1(λ-==AB )1(λ-，
则AN AM ⋅=))((DN AD BM AB ++=])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =⋅+2
)1(λ-+2
λ+⋅-)1(λ, 又∵⋅=2×1×3
cos
π
=1，2=4，2
=1，
∴⋅=6)1(522
2
++-=+--λλλ，
∵0≤λ≤1，∴2≤AN AM ⋅≤5，即AN AM ⋅的取值范围是[2,5].
10.【2012高考江苏9】如图，在矩形ABCD
中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，
点F 在边CD 上，
若AB AF AE BF
【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由AB AF =
cos AB AF FAB ∠=
，
由矩形的性质，得cos =AF FAB DF
∠。

∵AB
DF
=1DF =。

∴1CF =。

记AE BF
和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-
)
=cos cos sin sin =121AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯=
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2
2
40x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线
段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=
时，则点C 的纵坐标的取值范围是 [5,5]- ．
12.已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的
面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = ，则（ⅰ）pq
p q =
+ （ⅱ）12S S 的取值范围是 . 【解析】设AB a = ，AC b = ，1AP a λ=
，2AQ b λ= ，
因为G 是△ABC 的重心，故1()3
AG a b =+
，
又111()33
PG AG AP a b λ=-=-+ ，21PQ AQ AP b a λλ=-=-
，
因为PG 与PQ 共线，所以PQ PG λ= ，即1121
1[()]()033
a b λλλλλ-++-= ，
又a 与b 不共线，所以111()3λλλ-=-及21
3
λλ=，消去λ，得12123λλλλ+=.
（ⅰ）121111(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=，故1pq p q
=+；
（ⅱ）12111
()313λλλλ=≠-，那么12||||sin ||||sin S AP AQ BAC S AB AC BAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠
21122111
13931()24
λλλλλ===---+，当P 与B 重合时，11λ=，当P 位于AB 中点时，
112λ=，故11[,1]2λ∈，故12
S S 41[,].92∈但因为P 与B 不能重合，故12
S S 41[,).
92∈。