有关正态分布的解释
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✓ 正态分布概率密度曲线与横轴围成的区域的总面积恒等于 1。
✓ 正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间的面积可应用数 学知识求出。
✓ 在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量变换转 变为标准正态分，为了省去积分计算不同正态分布曲线下 横轴上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门 编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表， 供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。
N（μ1 ，σ2）、N（μ2 ，σ2）
N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）
max
σ=0.5
f(x)
f(x)
σ=1 σ=2
0
0
µ1
µ2
µ
Copyrights © 2007 AUX Group
➢ 正态曲线下面积分布有一定的规律性。
✓ 对于服从正态分布的随机变量（X），随机变量值出现在 某在一该区区间间（所围x1,成x2）的的区概域率的与面正积态大分小布相概对率应密（度相曲等线）与。横轴
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图
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• 正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
e
x-∞2 ＜x＜+∞
2 2
则该随机变量服从正态2分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π为
圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，即
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✓ 若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体标准差σ=1 ，即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习 惯把服从标准正态分布的变量用字母U或Z表示，此时
，我们把U或Z称为标准正态变量。
✓ 标准正态分布是正态分布中的一个典型分布，数理统
计上证明：对一服从正态分布的随机变量（X），若
频数分布图二
20
频数
10
0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
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频数
频数分布图三
14 12 10
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
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2.71828···。
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✓ 若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程 ）为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分 布，记为：X～N（μ,σ2）。
✓ 函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。 ✓ 在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大
时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。 ✓ 在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。
该数值变量资料频数分
布呈现中间频数多，左右两侧 基本对称的分布。所以我们通 俗地认为该资料服从正态分布
。
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
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u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即Ф(u)。
若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应区域的
面积，通过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(-1.96)=0.025
进行特定的变量变换，可将任何一服从正态分布的随
机变量（X）转变成服从标准正态分布的随机变量（
U或Z），这种变量变换过程称为变量的标准化，也
称为U或Z变换。
U
X
式中符号意义如前述。
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正态分布的特征及其面积规律
➢ 正态分
布曲线
max
位于横
轴上方
，呈钟
形。
➢ 正态分 f(x)
布曲线
以均数
所在处
最高，
且以均
数为中
心左右
对称。
0
µ
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➢ 正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的 情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时， 曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置 不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时， 曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。
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下面我们以第一节某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，来说明身高变量服从 正态分布。
• 频数分布表：
某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm)资料频数分布
身高组段
频数
组中值
（1）
（2）
(3)
129～
2
130.5
132～
2
133.5
135～
ห้องสมุดไป่ตู้Copyrights © 2007 AUX Group
标准正态分布
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即 左右各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的 大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正 态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。
8
136.5
138～
20
139.5
141～
26
142.5
144～
25
145.5
147～
20
148.5
150～
9
151.5
153～
3
154.5
156～
2
157.5
159～162
1
160.5
合计
118
—
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频数分布图一（又称直方图
30
）
20
频数
10
从频数表及频数分布图上可得 知：
正态分布
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正态分布的概念
• 正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率 ）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数 分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠 近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成 一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称 的分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似 服从数学上的正态分布。
✓ 正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间的面积可应用数 学知识求出。
✓ 在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量变换转 变为标准正态分，为了省去积分计算不同正态分布曲线下 横轴上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门 编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表， 供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。
N（μ1 ，σ2）、N（μ2 ，σ2）
N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）
max
σ=0.5
f(x)
f(x)
σ=1 σ=2
0
0
µ1
µ2
µ
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➢ 正态曲线下面积分布有一定的规律性。
✓ 对于服从正态分布的随机变量（X），随机变量值出现在 某在一该区区间间（所围x1,成x2）的的区概域率的与面正积态大分小布相概对率应密（度相曲等线）与。横轴
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图
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• 正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
e
x-∞2 ＜x＜+∞
2 2
则该随机变量服从正态2分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π为
圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，即
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✓ 若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体标准差σ=1 ，即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习 惯把服从标准正态分布的变量用字母U或Z表示，此时
，我们把U或Z称为标准正态变量。
✓ 标准正态分布是正态分布中的一个典型分布，数理统
计上证明：对一服从正态分布的随机变量（X），若
频数分布图二
20
频数
10
0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
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频数
频数分布图三
14 12 10
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
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2.71828···。
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✓ 若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程 ）为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分 布，记为：X～N（μ,σ2）。
✓ 函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。 ✓ 在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大
时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。 ✓ 在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。
该数值变量资料频数分
布呈现中间频数多，左右两侧 基本对称的分布。所以我们通 俗地认为该资料服从正态分布
。
0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
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u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即Ф(u)。
若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应区域的
面积，通过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(-1.96)=0.025
进行特定的变量变换，可将任何一服从正态分布的随
机变量（X）转变成服从标准正态分布的随机变量（
U或Z），这种变量变换过程称为变量的标准化，也
称为U或Z变换。
U
X
式中符号意义如前述。
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正态分布的特征及其面积规律
➢ 正态分
布曲线
max
位于横
轴上方
，呈钟
形。
➢ 正态分 f(x)
布曲线
以均数
所在处
最高，
且以均
数为中
心左右
对称。
0
µ
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➢ 正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的 情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时， 曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置 不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时， 曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。
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下面我们以第一节某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，来说明身高变量服从 正态分布。
• 频数分布表：
某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm)资料频数分布
身高组段
频数
组中值
（1）
（2）
(3)
129～
2
130.5
132～
2
133.5
135～
ห้องสมุดไป่ตู้Copyrights © 2007 AUX Group
标准正态分布
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即 左右各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的 大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正 态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。
8
136.5
138～
20
139.5
141～
26
142.5
144～
25
145.5
147～
20
148.5
150～
9
151.5
153～
3
154.5
156～
2
157.5
159～162
1
160.5
合计
118
—
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频数分布图一（又称直方图
30
）
20
频数
10
从频数表及频数分布图上可得 知：
正态分布
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正态分布的概念
• 正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率 ）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数 分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠 近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成 一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称 的分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似 服从数学上的正态分布。