最新人教版初中八年级数学上册《提公因式法》精品教案

14．3因式分解

14．3.1提公因式法

1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．(重点)

2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点)

一、情境导入

1．多媒体展示，让学生完成．

计算：(1)m(a＋b＋c)；(2)(a＋b)(a－b)；(3)(a＋b)2.

学生通过回忆前面所学的解题方法，完成解题，并积极作答：

(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；

(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；

(3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.

2．学生通过对比上题发现：

(1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；

(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；

(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.

3．教师肯定学生的表现，说明其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式，该过程叫做因式分解，这节课我们就来探讨它．

二、合作探究

探究点一：因式分解的概念

下列从左到右的变形中是因式分解的有( )

①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x ＋3y)(x－3y)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.

方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．

探究点二：提公因式法分解因式

【类型一】确定公因式

多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( )

A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab

解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.

方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．

【类型二】用提公因式法因式分解

因式分解：

(1)8a3b2＋12ab3c；

(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；

(3)(a＋b)(a－b)－a－b.

解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．

解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；

(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；

(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．

方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．

【类型三】利用因式分解简化运算

计算：

(1)39×37－13×91；

(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.

解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，进而求出即可． 解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；

(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．

【类型四】 利用因式分解整体代换求值

已知a ＋b ＝7，ab ＝4，求a 2b ＋ab 2的值．

解析：原式提取公因式变形后，将a ＋b 与ab 的值代入计算即可求出值．

解：∵a ＋b ＝7，ab ＝4，∴原式＝ab (a ＋b )＝4×7＝28.

方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．

【类型五】 因式分解与三角形知识的综合

△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．

解析：对已知条件进行化简后得到a ＝c ，根据等腰三角形的概念即可判定．

解：整理a ＋2ab ＝c ＋2bc 得，a ＋2ab －c －2bc ＝0，(a －c )＋2b (a －c )＝0，(a －c )(1＋2b )

＝0，∴(a －c )＝0或(1＋2b )＝0，即a ＝c 或b ＝－12

(舍去)，∴△ABC 是等腰三角形． 方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．

【类型六】 运用因式分解探究规律

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.

(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；

(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)

2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；

(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数)．

解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．

解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；

(2)分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)

2015，需应用上述方法2015次，结果是(1