高一数学分段函数1

第九课时 分段函数

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分段函数⎪⎩

⎪⎨⎧分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义

学习要求

1、了解分数函数的定义；

2、学会求分段函数定义域、值域；

3、学会运用函数图象来研究分段函数；

自学评价：

1、分段函数的定义

在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；

2、分段函数定义域，值域；

分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)

3、分段函数图象

画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；

【精典范例】

一、含有绝对值的解析式

例1、已知函数y=|x －1|+|x+2|

(1)作出函数的图象。

(2)写出函数的定义域和值域。

【解】：

(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)

所以已知函数可写为分段函数形式：

y=|x －1|+|x+2|=⎪⎩

⎪⎨⎧>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x

在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图

象略）

(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）

二、实际生活中函数解析式问题

例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

【解】：

先考虑由甲地到乙地的过程：

0≤t ≤2时， y=6t

再考虑在乙地耽搁的情况：

2

最后考虑由乙地返回甲地的过程：

3

所以S(t)=⎪⎩

⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)20(6t t t t t

函数图象（略）

点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.

三、二次函数在区间上的最值问题

例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).

(1)求g(a)的函数表达式

(2)求g(a)的最大值。

【解】：

对称轴x=讨论分12

];1,1[2122>-∈-+-≤≤---<+)

2(52)22(23)2(522

a a a a a a 利用分段函数图象易得：g(a)max =3

点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。

追踪训练

1、设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)

2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________

答案：18；6-或4。

2、已知函数f(x)=⎪⎩

⎪⎨⎧<=>)0(0)0(1)0(2x x x x

求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.

答案：1；1；1。

3、出下列函数图象

y=┃x+2┃－┃x －5┃

解：原函数变为 y=⎪⎩

⎪⎨⎧+∞∈-∈---∞∈-),5[,7)5,2(,32]2(,7x x x ，x

下面根据分段函数来画出图象

图象（略）。

4、已知函数y=⎪⎩

⎪⎨⎧-+=+==)1()()1(3)1(1)0(n nf n f n f f f ，则f(4)=_______.

答案：22。

5、已知函数f(x)=1|

1|122++++-x x x x

(1)求函数定义域；

(2)化简解析式用分段函数表示；

(3)作出函数图象

答案：（1）函数定义域为{x ┃x R x ∈-≠,1}

( 2 )

f(x)=┃x-1┃+1|

1|++x x

=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---

<-1

,11,21

,x x x x x x

(3) 图象（略）。

分层练习

1、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||11

1

||,2|1|2x ，x x x ，则f[f(21

)]=( ) A. 21 B.134

C. －59

D.4125

2、若f(x)=⎩⎨⎧≥)0()

0(2πx x x x ⎩

⎨⎧<-≥=)0()

0()(2x x x x x ϕ，则当x<0时，f[ϕ(x)]=(

) A. －x B. －x 2

3、已知，若f(x)=.______)

2(2)21()

1(22的取值范围是则x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+

4、下列各组函数表示同一函数的是( )

①f(x)=|x|，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0()

0(x x x x

②f(x)=24

2--x x ，g(x)=x+2

③f(x)=2x ，g(x)=x+2