导数应用题

高二（文科）导数应用题
例题：
时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的
关系式y=m
x−2
+4(x−6)2，其中2<x<6，m为常数.已知销售价格为4元/套时，每日
可售出套题21千套.
（1）求m的值；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）
试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出m=10；（2）先建立利润函数模型
f(x)=(x−2)[10
x−2
+4(x−6)2]=10+4(x−6)2(x−2)=4x3−56x2+240x−278(2< x<6)，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.
试题解析：（1）因为x=4时，y=21，
代入关系式y=m
x−2+4(x−6)2，得m
2
+16=21，2分
解得m=10. 4分
（2）由（1）可知，套题每日的销售量y=10
x−2
+4(x−6)2，6分
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)=(x−2)[10
x−2
+4(x−6)2]=10+4(x−6)2(x−2)=4x3−56x2+240x−278(2< x<6)从而f′(x)=12x2−112x+240=4(3x−10)(x−6)(2<x<6). 8分
令f′(x)=0，得x=10
3,且在(2,10
3
)上,，函数单调递增；在(10
3
,6)上，
，函数单调递减，10分
所以x=10
3
是函数在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，11分
所以当x=10
3
≈3.3时，函数取得最大值. 12分
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.
考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用
练习题
一、单选题
1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2．现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）
A. 1m
B. 1.5m
C. 0.75m
D. 0.5m
二、填空题 3．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 等速率缩短，而长度以每秒20cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________cm ．
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
三、解答题
5．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以
往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3
1
10v ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均
速度为
2
v
（米/单位时间），每单位时间用氧量为 1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升）.
（1）求y 关于v 的函数关系式；
（2）求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.
6．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．
(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；
(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．
7．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x－5 000(单位：万元)．
(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
8．某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求
60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500
5
x k L
x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
，其中k为常
数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L. （1）求k的值；
（2）求该汽车每小时油耗的最小值．
9．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()()01025
k
c x x x =
≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.
10．现有一张长为108cm ，宽为cm a （108a <）的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角上剪下一块边长为()cm x 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，
用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为()cm y ，体积为()
3
cm V .
（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式； （Ⅱ）求该铁皮容器体积V 的最大值.
高二（文科）导数应用题参考答案
1．B
【解析】设圆柱的底面半径为r,则高2
26464
h r r
ππ==， 则
圆
柱
的
表
面
积
2222641286464248S r r r r r r r r ππππππππ=+⋅
=+=++=. 当且仅当2
64r r
π
π=
，即r=4时，取等号。

∴要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为4.本题选择B 选项. 2．A
【解析】试题分析:
设该长方体的宽是x 米，由题意知，其长是2x 米，高是18849342x x x --=-米，3
(0)2
x <<
则该长方体的体积()9232V x x x x ⎛⎫
=⋅⋅- ⎪⎝⎭
， 由V′(x )=0，得到x =1， 且当0<x <1时，V′(x )>0； 当3
12
x <<
时，V′(x )<0， 即体积函数V(x )在x =1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x )在定义域上的最大值。

所以该长方体体积最大值时，x =1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m . 故选A. 3．4
【解析】设原来神针的长度为a cm ，t 秒时神针体积为V t ，则V t =π(12−t )2∙(a +20t )，其中0≤t ≤8。

所以V ′ t =[−2 12−t a +20t +(12−t )2∙20]π.因为当底面半径为10cm 时其体积最大，所以10=12−t ，解得t =2，此时V ′ 2 =0，解得a =60，所以V t =π(12−t )2∙(60+20t )，其中0≤t ≤8，V ′ t =60π 12−t (2−t )，当t ∈(0,2)时，V ′ t >0，当
t ∈(2,8)时，V ′ t <0，从而V t 在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减，V 0 =8640π，V 8 =
3520π，所以当t =8时，V t 有最小值3520π，此时金箍棒的底面半径为4cm .
4．45.6
【解析】设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.由L ′(x )＝－
0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.且当x ＜10.2时，L ′(x )＞0，x ＞10.2时，L ′(x )＜0，∴x ＝10时，L (x )取到最大值，这时最大利润为45.6万元．答案：45.6万元 5．（1）由题意，下潜用时
60
v
（单位时间），用氧量为3260360
1+1050v v v
v ⎡⎤⎛⎫+⨯=
⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（升），水底作业时的用氧量为100.99⨯=（升），返回水面用时60120
=2v v （单位时间），用氧量为1201801.5v v ⨯=（升），
∴总用氧量()23240
9050v y v v
=++>.
（2）()
3
22
320006240'5025v v y v v
-=-=，令'0y =得v =
在0v <<时， '0y <，在v > '0y >，
∴函数在(
上单调递减，在()+∞上单调递增，
∴此时， v =时总用氧量最少.
6．试题解析：解：(1)设日销售量为s ，则s ＝， 因为x ＝40时，s ＝10， 故10＝，则k ＝10e 40， 所以s ＝，
故y ＝
10e 40e (x －30－m )(35≤x ≤41)．
(2)由(1)知y ′＝10e 40·＝10e 40·
.
令y ′＝10e 40·
＝0，则x ＝31＋m .
当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数， 所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．
7．试题解析：
解：(1)P (x )＝R (x )－C (x )
＝－10x 3＋45x 2＋3 700x －(460x －5 000)
＝－10x 3＋45x 2＋3 240x ＋5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240 ＝－30(x －12)(x ＋9)，
由P ′(x )＝0，得x ＝12，x ＝－9(舍去)． 当0<x <12时，P ′(x )>0，P (x )单调递增； 当x >12时，P ′(x )<0，P (x )单调递减． ∴当x ＝12时，P (x )取得极大值，也为最大值．
∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
8．试题解析：（1）由题意，当x ＝120时，145005x k x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
＝11.5， ∴k ＝100.
（2）该汽车每小时的油耗为y L ，则 y ＝145001005x x ⎛⎫
+
- ⎪⎝⎭
(60≤x≤120)． 求导知，函数在区间[]
60,120上单调递增min 607x y y ∴== 当时取得最小值 答：min 607x y y ∴== 当时取得最小值升．
9．试题解析：（1）当0x =时，()085
k
c ==，∴40k =. 由题意知，()4020425f x x x ⨯=++，即()()800
401025f x x x x =+≤≤+.
（2）∵()()800
401025
f x x x x =+≤≤+
∴()()
2
1600
'425f x x -=+
+，令()'0f x =，即()2
42516000x +-=，
∴7.5x =.
当[)0,7.5x ∈时，()'0f x <，当(]
7.5,10x ∈时，()'0f x >， 当7.5x =时，()f x 取得最小值.
()min 800
47.57027.55
f x =⨯+
=⨯+.
所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 10．试题解析:（（Ⅰ）由题意得24108x xy a +=，
即21084a x y x
-=（0x a ≤<）.
（Ⅱ）铁皮容器体积()22
2
1084a x V x x y x
x
-===()31
1084x ax -+（0x a ≤<）. ()()
2131084V x x a +'=
-
=(
3
4
x x -+-，
当036a ≤<
时，即a ，在(]0,a 上，()0V x ≥'恒成立，函数()V x 单调递增，
此时()()()2
max 11084
V x V a a a ==
-； 当36108a <<，
即a <，
在(
,6上，()0V x '>，
函数()V x 单调递增，
在(
a ⎤⎦
上，()0V x '<，函数()V x 单调递减，此时(
)(
max 108V x V ==
所以()()(
)
)
2
3max
31108cm ,036,4{ 108cm ,36108.
a a a V x a ≤-<=<<。