力矩与平面力偶系 PPT课件

F1 d A F 1 B A F2 D ABD , M ( P , P ) 2 S ABC S ABD S ABC M ( F , F ) M ( P , P ) M ( P , P ) M ( P1 , P1) M ( F , F ) M ( P1 , P1)
F′ F
F2 F O F1
o 图 3-2 (b)
图 3-2 (c)
2. 合力矩定理 表达式： M O ( FR ) M O ( F ) 证明：由图得 y
M O ( F ) F d F r sin( ) F r (sin cos sin cos ) F r sin cos
图 3-4
图3-5
(2) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平 衡； (c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效 应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
F d F′ 力偶作用面 力偶臂
图3-6
而
O x r Fy F
A

y Fx x

F r sin cos
F cos Fx , F sin Fy r cos x A , r sin y A
d
M

图 3-3
则
MO (F) xA Fy yA Fx
(a)
MO (F) xA Fy yA Fx
谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能
撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的，
因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 能产生足够大的力来“搬动”地球。
动力臂越长，施力的一方经过的距离越
长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支 点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你 无法想象，比阻力臂要长1000万万亿倍，要 把地球撬起1厘米，如果按每秒移动1米计算， 要花3万亿年的时间，这比地球的历史还要长。 ——来自中国科普网
证明：设有一力偶 (F, F ′),如图所示 . 运用加减平 衡力系的公理并注意到：
( F , F ) ~ ( F , F , Q , Q ) ~ ( P , P ) ( F , F ) ~ ( P1 , P1)
A′ P1 D Q A a P P′ B Q′ C B′ b P1 ′
§3-1 力矩的概念和计算
1. 力对点之矩
l F A
(1) 用扳手拧螺母； (2) 开门，关门。
d
O
图3-1
由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与 力的大小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d 有关，故用乘积F· d 来度量力的转动效应。该乘积
根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O 之矩，简称力矩，以符号M O (F)表示。 即 MO (F ) F d O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F 作用线 的垂直距离d，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为 正，反之为负。
(a)
若作用在 A点上的是一个汇交力系（F1 、F2 、… Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有
M
O
(F) xA Fy yA Fx
(b)
该汇交力系的合力FR=∑F，由式(a)，它对O点的矩 为：
MO (FR ) xA FR y yA FR x xA F y yA F x (c)
x
(3) 力偶矩 其转动效应——力对点之矩，即用力偶中 的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来 度量。
M ( F , F ) F d 或 M F d
例如：
M O ( F ) M O ( F ) F x F (d x ) F d
应注意：
在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的 大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一 个代数量。 力矩的单位： 国际制 N· m，kN· m 工程制 公斤力米（kgf· m） 力矩的性质：
O d F
图 3-2 (a)
(1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动 而改变；
(2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如 果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零， 则此力的作用线必通过该点； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
比较(b)、(c)两式有
M O ( FR ) M O ( F )
证毕。
§3-2 力偶的概念
1. 力偶和力偶矩
(1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的 两个力叫做力偶。并记作（F，F′）。可用 图3-4表示, 例如：方向盘等
F d F′ 力偶作用面 F 力偶臂 F1 A D B F1′ C F′
第 3 章 力矩与平面力偶系
§3-1 力矩的概念和计算 §3-2 力偶的概念 §3-3 平面力偶系的合成与平衡
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力 的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转 动效应，需引入力矩的概念。 主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。
图3-9 平面力偶等效定理的证明涉 及哪些静力学公理？
两个重要推论： 推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变 它对物体的转动效应
M M
A
B
A
C
B
(a)
(b)
图3-10
推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下， 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不 改变力偶对物体的转动效应，其中F1d=F2D
F
x
d O
F
图3-7
(4) 力偶的三要素 (a) 力偶矩的大小； (b) 力偶的转向； (c) 力偶作用面在空间的方位。
2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面内（或两平行平面）的两 个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向 相同，则此两力偶等效。 F1 F′
例如：方向盘
C A D F
B
F1′
图3-8