高中数学教材分析

第一章集合

数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，符号化、形式化是数学的显著特点，从某种意义上来说，学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言，以及用这种形式化语言去表述、解释、解决各种问题。集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的。集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以简洁、准确地表述数学内容。

一、本章的教育目标

通过本章学习，使学生感受到用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言表示数学对象，为以后的学习奠定基础。

1．了解集合的含义，体会元素与集合之间的属于关系，并初步掌握集合的表示方法；

2．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；

3．理解补集的含义，会求补集；

4．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；

5．渗透数形结合、分类等数学思想方法；

6．在引导学生观察、分析、抽象、类比得到集合、集合间的关系等数学知识的过程中，培养学生的思维能力；

7．通过本章的学习，使学生初步感受到运用集合语言表述数学对象时的简洁和准确，体会数学的简洁美。

二、本章的设计意图

本章内容包含了集合的含义、表示和运算等三部分内容。

教材首先设置问题情境“设计自己”，使学生感受到集合概念就在我们的身边，与我们的生活息息相关。通过实例引导学生理解集合的特征，并从不同的角度学习和理解集合的表示方法；通过观察具体的集合，从“数”和“形”两个方面使学生感受并归纳出集合与集合之间包含关系。

与传统的教材处理不同，本章教材通过观察具体集合使学生感受并得到集合的补集的概念后，上升到数学的内部，将“补”理解为集合间的一种“运算”。在此基础之上，通过实例，使学生感受和掌握集合之间的另外两种“运算”——“交”和“并”。本章整体设计思路是从具体到理论，再回到具体，螺旋上升。

本章充分利用Venn图和数轴等帮助学生形象地理解集合的含义与运算，体现了数形结合的思想。

本章内容的呈现，充分考虑到学生的认知规律，在集合概念的呈现过程中，从学生最熟悉的例子入手，并通过旁白，鼓励学生自己举例，整个设计为学生和教师的积极活动提供了空间和可能。

本章设置了“思考”、“阅读”等栏目，为拓宽学生的思维和进一步学习提供

了载体。例如，引导学生思考A⊆B与B⊆A能否同时成立，来探索集合相等的

证明方法。

为了适应不同层次学生的需要，本章在习题和复习题部分设置了探究和拓展

=(C A U) (C B U)等。

类的问题，例如，要求学生探究并证明C)

A

(B

U

本章注意体现数学的文化价值。如通过旁白介绍集合论的创始人康托尔，设置阅读介绍无限集的历史背景和含义等以提高学生的学习兴趣和数学素养。

三、本章教学建议

集合作为一种数学语言，在后续的学习中是一种重要的工具（如用集合的语言表示函数的定义域和值域、方程和不等式的解、曲线等）。在数学学习中，经常通过语义转换将一个问题转换为较简单明了的问题。因此，在本章的教学过程中，要能针对具体问题，引导学生恰当使用自然语言、图形语言和集合语言来表述相应的数学内容。要利用学生已学过的数学内容和生活中的实例，使学生感受运用集合语言的好处，进而发展学生运用数学语言进行交流的能力。

本章教学时间约需4课时，具体分配如下（仅供参考）：

1．1集合的含义及其表示约1课时

1．2子集全集补集约1课时

1．3交集并集约1课时

小结与复习约1课时

四、本章内容分析

章头图、引言

章头图中天坛始建于1426年，是我国现存的精美的古建筑群之一。通过观察可以发现，如此雄伟的建筑是由一些基本的空间图形组合而成。它和引言提供了本章的主背景，唤起了学生生活中的经验，让他们注意到现实世界中空间图形与我们的生活息息相关的联系，是本章的知识与方法的生长点。

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。引言又进一步从整体到局部提出统领本章的中心问题：（1）空间几何体是由哪些基本几何体组成的？（2）如何描述和刻画这些基本几何体的形状和大小？（3）构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？揭示了本章研究问题的基本思路，为学生的学习活动提供了研究的课题，指明了方向。

1.1集合的含义及其表示

1．教学目标

（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法；

（2）初步了解“属于”关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义；

（3）初步掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合。

2．编写意图和教学建议

（1）集合是数学中原始的、不定义的概念。在教材处理中，主要是通过大量熟悉的实例，如“家庭”、“男生”、“女生”等，使学生感受集合的含义，并初步了解如何用集合的语言描述对象。

集合概念的引入，除了课本上的具体实例之外，可以让学生自由举例，如“自然数”、“有理数”等。

（2）对集合的描述性概念中提到的“确定性”，是指任意元素是否属于这一集合是确定的。集合中元素的互异性和无序性也可在学生举例中加以说明。

（3）集合相等（它们所含元素相同）只要求了解，不要求从集合互相包含的角度加以理解。

（4）列举法和描述法各有优点。

对于例1，教材通过用集合的语言表示一元一次不等式的解，从而得到无限集的描述性定义。教学中，只要求学生能判断并举一些具体的例子。

通过例2，可以使学生对空集有进一步认识，教学中，可以让学生自己举例说明。

1．2子集全集补集

1．教学目标

（1）了解集合间包含关系的意义；

（2）理解子集、真子集的概念和意义；

（3）了解全集的意义，理解补集的概念和意义；

2．编写意图与教学建议

（1）从分析具体的集合入手，通过对集合及其元素之间关系的分析，得到子集、真子集的概念。

教学中，可以从前一节内容出发，让学生自己举一些集合的例子，引导学生分析它们之间的关系，特别是元素之间的关系，要注意利用Venn图，从“形”的角度帮助分析。

“思考”中A ⊆B与B ⊆A可以同时成立，成立的条件是A =B。这两者同时成立是证明集合相等的方法，教学过程中，可以引导学生利用Venn图加以分析，使学生感受到这两者同时成立和集合相等的等价性。

（2）通过观察比较，分析子集、真子集、补集之间的区别和内在联系。同时，要充分利用Venn图从“形”的角度帮助学生理解这些不同的概念。

教材通过“思考”例2中每一组的三个集合中，A、B两个集合中没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰是集合S中的元素。这个思考为学生感受和理解补集、全集的概念奠定基础，也为从集合运算的角度理解补集埋下伏笔。

1．3交集并集

1．教学目标

（1）理解交集与并集的概念和意义；

（2）理解区间的表示法；

（3）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合。

2．编写意图和教学建议