计算方法公式总结

计算方法公式总结

绪论

绝对误差

e x x *=-，x *为准确值，x 为近似值。

绝对误差限

||||e x x ε*=-≤，ε为正数，称为绝对误差限

相对误差*

r

x x e e x x

*

*-== 通常用r

x x e

e x x

*-==表示相对误差 相对误差限||r r e ε≤或||r

r e ε≤ 有效数字

一元函数y=f （x ）

绝对误差

'()()()e y f x e x = 相对误差 ''()()()()()()()

r

r e y f x e x xf x e y e x y y f x =≈=

二元函数y=f （x 1,x 2）

绝对误差

1212

12

12

(,)(,)

()

f x x f x x

e y dx dx

x x

∂∂

=+

∂∂

相对误差

121122

12

12

(,)(,)

()()()

r r r

f x x x f x x x

e y e x e x

x y x y

∂∂

=+

∂∂

机器数系

注：1. β≥2，且通常取2、4、6、8

2. n为计算机字长

3. 指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U

4. 尾数部 120.n s a a a =±，定位部p β

5. 机器数个数

1

12(1)(1)n U L ββ-+--+ 机器数误差限

舍入绝对 1|()|2

n p

x fl x ββ--≤

截断绝对|()|n p x fl x ββ--≤ 舍入相对1|()|1||2

n x fl x x β--≤ 截断相对1|()|||n

x fl x x β--≤

九韶算法

方程求根

()()()m f x x x g x *=-，()0g x ≠，*x 为f （x ）=0的m 重根。

二分法

迭代法

1()0()k k f x x x ϕ+=⇒= k=0、1、2……

{}k x 为迭代序列，()x ϕ为迭代函数，**

lim{}()k

k x x x ϕ→∞

==

局部收敛

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛

牛顿迭代法

'()()()()0k k k f x f x f x x x =+-= 1'()

(0,1,2,)

()

k k k k f x x x k f x +=-= 注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大围也收敛，加如下四个条件

注：证明牛顿迭代法大围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中

'()

()()

f M f εεεε=-,在这个区间验证这四个条件。

如果知道根的位置，构造[ε，M （ε）]时应该包括根，即ε+常数

线性方程组求解

有两种方法：消去法和迭代法

高斯消去法

利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。

注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。 对角占优矩阵

11121212221

2

n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

1||||(1,2,

,)

n

ii ij j j i

a a i n =≠>=∑则称A 为按行严格对角占优矩阵

1||||(1,2,

,)

n

jj ij i i j

a a j n =≠>=∑ 则称A 为按列严格对角占优矩阵

(1,)ij ji a a i j n =≥≤,0,(,)0n

x R x x Ax ∀∈≠>

则称A 是对称正定的。

当A 是上面三种情况时，用高斯消去法消元时0kk a ≠，不用换行。

追赶法是高斯消元法的一种特例

列主元高斯消元法

当

()()

||max||

k k

sk ik

k i n

a a

≤≤

=

，即第k次消元把k~n行第k列绝对值最大的行（s

行）调到第k行，再进行高斯消元。

迭代序列构造

(1)

()

k k +=⇒=+⇒=+Ax b x Bx f x

Bx

f

第三个等式为迭代序列，B 为迭代矩阵。

迭代收敛判别

1. 充分条件：迭代矩阵数小于1，1

结论：Ax=b 有唯一解x

*

2. 充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,()1ρ

Jacobi 迭代法

=++A L D U 其中L （low ）为下三角，U 为上三角，D 为对角线元

素

迭代格式：

(1)1()1()k k +--=-++x D L U x D b

迭代矩阵

1()-=-+J D L U 收敛性判据：

1||0||||0||0λλλ--=⇒•++=⇒++=I J D L D U L D U

求出λ最大值小于1（J 的谱半径小于1）即迭代格式收敛.

Gauss-Seidel 迭代法

迭代格式

(1)1(1)()()k k k +-+=--+x D Lx U x b

(1)1()1()()k k +--=-+++x D L U x D L b

迭代矩阵：1()-=-+G

D L U

常数矩阵：1()-=+g

D L b