初中数学二次函数易错题汇编含答案

【详解】
解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为 的中点，
∴
设AE=x，∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故选：B．
【点睛】
本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C．假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得
解得：
∴
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
D．假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．
初中数学二次函数易错题汇编含答案
一、选择题
1．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）
A．16B．15C．12D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
∴－12＜t≤4，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．
3．要将抛物线 平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.
点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
12．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据Байду номын сангаас物线与直线y=m的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线x=－ =1
【详解】
解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
解得：
∴二次函数的解析式为：
∴当x= 时，y的最小值为 ，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
【答案】A
【解析】
【分析】
原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．
【详解】
y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度．
B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣ 位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
【详解】
解：∵y＝m（x＋3）（x＋9）＝mx2＋12mx＋27m，y＝n（x－2）（x－6）＝nx2－8nx＋12n，
∴二次函数y＝m（x＋3）（x＋9）的对称轴为直线x＝－6，二次函数y＝n（x－2）（x－6）的对称轴为直线x＝4，
∵4－（－6）＝10，
∴将二次函数y＝m（x＋3）（x＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．
∴方程 的实根x0所在范围为： ．
故选C．
【点睛】
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
6．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当x＜ 或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（ ）
7．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5B．﹣4≤t＜5C．﹣4≤t＜0D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；
【详解】
解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，
∴b＝−2，
∴y＝－x2−2x＋3，
∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，
∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，
∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，
【详解】
根据题意得，点 从点 运动到点 时以及从点 运动到点 时是一条线段，故选项C与选项D不合题意；
点 从点 运动到点 时， 是 的二次函数，并且有最小值，
∴选项B符合题意，选项A不合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．
8．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数 及 图象，将二次函数 的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（）
A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移10个单位长度D．向右平移10个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．
故选B．
【点睛】
此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．
11．如图， 为等边三角形，点 从A出发，沿 作匀速运动，则线段 的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a 0，b 0，c 0，则abc 0，则①正确；
根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；
根据函数对称轴可得：- =3，则b=-6a，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；
∴b<0
∴abc＞0；①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，所以②不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，m），
∴ =m，
∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确；
解：依题意得方程 的实根是函数 与 的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当x= 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x= 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x= 时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x=1时， ， ，此时抛物线的图象在反比例函数上方．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与 的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-1=0的实根x所在范围．
【详解】
【答案】C
【解析】
试题分析：由抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac＞0，所以①错误；
由抛物线的顶点为D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以②正确；
故选C．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
10．四位同学在研究函数 （ 是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 时， ，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．
∵抛物线与直线y=m有一个公共点，
∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选:C．
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．
5．方程 的根可视为函数 的图象与函数 的图象交点的横坐标，则方程 的实根x0所在的范围是（）
【详解】
解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
2．抛物线y＝ x2+bx+3的对称轴为直线x＝ 1．若关于x的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A． 12＜t≤3B． 12＜t＜4C． 12＜t≤4D． 12＜t＜3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题解析：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣ ＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．