王慧非线性弹簧阻尼减振装置的探究

强迫力之间 有 一 个 相 位 差 ， 我们可以预先确定强 迫力的相 位 ， 继 而 确 定 解 的 相 位 ．但 对 于 非 线 性 阻尼系统 ， 计 算 显 然 更 为 复 杂 ．一 种 较 为 简 单 的 办法是 ：固定解的相位 ， 然后求强迫力的相位 ．即 ） 认为解 ｘ（ 和强迫力间的相位差是不变的， 并选 ｔ 取 解 的 相 位 为 零， 而 强 迫 力 的 相 位 待 定．此 时 ）可取如下形式 式（ ８
（ ； ） 收稿日期 ： 修回日期 ： ２ ０ １ ０ ０ ９ ２ ６ ２ ０ １ １ ０ １ ０ ５ － － － －
摘 要 将汽车底盘减 振 装 置 简 化 为 以 非 线 性 弹 簧 、 阻 尼 器 为 主 的 被 动 阻 尼 式 吸 振 器 ．利 用 研究其 振 幅 衰 减 、 缓冲周 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ 软件对其在简谐力作用下的响应进行定量绘图分析 ， 期以及与由线性弹簧构成的简单模型进行比较 ， 解释了减振装置具体的工作过程以及 其中的基本工作原理 ． 关键词 弹簧振子 ； 被动式阻尼器 ； 非线性振动 ； 共振 ； Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ
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物理与工程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ １ Ｎ ｏ ． ５ ２ ０ １ １
非线性弹簧阻尼减振装置的探究
罗 尧１ 王 慧２
１ （ ） 电子科技大学电子工程学院 ， 四川 成都 ６ １ ０ ０ ０ ０ ２ （ ） 电子科技大学物理电子学院 ， 四川 成都 ６ １ ０ ０ ０ ０
２
图 ２ 振动曲线
＝Ｆ ０
２
（ ） １ ３
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物理与工程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ １ Ｎ ｏ ． ５ ２ ０ １ １
ｂ 表 示 行 驶 车 辆 的 颠 簸 频 率， 在该方 程 中 ， ω 表示路面起伏的频 率 ， 表 示 路 面 起 伏 的 最 大 作 Ｆ０
， 得出更为符合实际情况的
１ ４
物理与工程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ １ Ｎ ｏ ． ５ ２ ０ １ １
２ ｍ ｘ ＋ｋ ｘ ＋ｋ ｘ ＋ … ＝０ １ ２ 在实际应用中 ， 上式多简化为如下形式
· ·
．减 振 系 统 是
衡量一辆汽车性能 优 劣 的 重 要 参 数 ．在 相 关 研 究 为了简便起见 ， 大部分的 案 例 模 型 往 往 与教学中 ， 简化为线性弹簧振 子 与 阻 尼 器 的 并 联 系 统
［ ８］
．然
而在实际生 活 与 工 程 应 用 中 ， 车辆的颠簸振动常 继而产生非线性振 常超出线性 模 型 的 适 用 范 围 ，
５， ６］ 动［ ．为了更 好 地 研 究 减 振 装 置 在 非 线 性 区 域
的振动状况 ， 本文将在线性减振系 统 基 础 上 ， 将非 线性弹簧 阻 尼 系 统 引 入 ．经 过 物 理 建 模 ， 理论推 导以及仿 真 分 析
［ １， １ ０］
小的情况 下 ．随 着 振 幅 增 加 ， 或是弹簧质量的分 布不均 ， 弹 簧 的 振 动 将 趋 于 非 线 性 行 为 ．其 一 种 典型的振动方式由如下微分动力学方程确定
（ ） ２
由图 ２ 可得 ， 非线性弹簧振动周期小于线性弹簧 振子 ， 振动速度大于线性弹簧振子 ． ３ 弹簧阻尼吸振器的激励响应 现在我们考虑由非线性弹 簧 振 子 与 被 动 式 阻 研究其在受到简 尼所组成的 被 动 阻 尼 式 吸 振 器 ， 谐激励下的系统响 应 ．对 其 受 力 以 及 振 幅 衰 减 特 征进行分析与研究 ． 对于零 输 入 响 应 下 的 有 阻 尼 非 线 性 振 动 系 统， 其运动可由如下微分方程表征
ｃ ｏ ｓ ｂ ｔ＋Ｆ２ ｓ ｉ ｎ ｂ ｔ ＝Ｆ １ 设
（ ） ９
２ （ ） Ｆ０ ＝ 槡 Ｆ２ １ ０ １ ＋Ｆ ２ 其中 ， Ｆ１ 、 Ｆ２ 、 Ｆ０ 、 ｃ 皆为ｋ ３ 的 同 阶 小 量 ．其 中 Ｆ １，
Ｆ２ 为周期 变 化 力 Ｆ 的 振 幅 Ｆ０ 正 交 分 解 后 的 分 ） 量， 其比值为所设相位差 ．假设 ｘ（ 的近似解为 ｔ
对于一辆行 驶 在 近 似 平 坦 路 面 上 的 车 辆 ， 其 遇到的颠簸可近似的由一周期性变化力 Ｆ 进行表 可设 为 Ｆ＝Ｆ 则上式可以改写成为如 征， ｃ ｏ ｓ ｔ， ω ０ 下形式
· · · ３ （ ） ｍ ｘ ＋ｃ ｘ ＋ｋ ｘ ＋ｋ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ８ ω ＝Ｆ １ ３ ０ 在存在阻尼 的 线 性 振 动 系 统 中 ， 强迫振动位移和
用力 ， Ａ 表示车辆在整个颠簸过程中的最大振幅 ． 分析可得 ， 对于周期性激励作用下的车辆行 驶颠簸 ， 振 动 的 振 幅 随 着 频 率 的 增 加 而 增 加 ．而 频率又与车 辆 行 驶 时 的 速 度 存 在 线 性 相 关 关 系 ， 当频率达 到 槡 即此时车辆 ｋ １ 时 振 幅 达 到 最 大 值， 的振动最为明显 ．对 于 非 线 性 振 动 的 一 个 有 趣 现 ） 象是 ， 若研究方程 （ 绘成的图像便 可 以 发 现 ， 当 １ ３ 振动频率衰减并接近某一临界值时振 幅 会 产 生 突 然增加或突然减少 的 现 象 ．此 现 象 就 是 非 线 性 阻 尼振动在简谐激励下的跳跃现象 ． 从数学上考 虑 ， 振幅达到最大值时所对应的 所以跳跃现 跳跃点之间 的 振 幅 曲 线 是 不 稳 定 的 ， 象的理解在 数 学 上 变 成 了 周 期 解 的 稳 定 性 分 析 ， 在实际生活中也可以从车辆船舶主轴 的 振 动 等 现 象中观测到这种跳跃现象 ． 现在分析其在某一确定的但 不 是 跳 跃 点 所 对 应的频率下 的 衰 减 振 动 ， 即给定无激励作用下的 ， 达芬方程一个初始条件 ： ｘ（ ｔ＝０） ＝ｘ ｘ（ ｔ＝ ０ ＝１
２ ３
· ·
生在非线性 区 域 内 ．对 于 由 式 （ 确定的单自由 ３） 度振动系统 ， 当忽略阻力 ， 对其回复力
ｘ －ｋ ｘ ｆ ＝－ｋ １ ３
进行积分 ：
ｘ
３
（ ） ４
Ｗ ＝－
式中 ， Ｗ 为势能改变量 ．解得
ｋｘ ） ｄ ｘ －ｋｘ － ∫（
３ １ ３ ０
（ ） ５
· ·
·
（ ） ７
ｋ ｋ １ ２ ３ ４ （ ） ｘ ＋ ｘ ６ ２ ４ ， 分别取 ｋ 利用 Ｍ ｋ ０ ０ ５， ａ ｔ ｌ ａ ｂ绘出其势 １ ＝１ ２ ＝０． 能变化曲线如图 １ 所示 ． Ｗ ＝
［ ２］
考价值的参数 ． ２ 非线性渐硬弹簧的振动特性 最为典型的振动 模 型 是 线 性 弹 簧 振 子 ．对 于 其振动方式由如下微分动力学方 线性弹簧振 子 ， 程惟一确定
· · （ ） ｍ ｘ ＋ｋ ｘ ＝０ １ 只由弹簧本身 ｋ 称 为 弹 簧 振 子 的 劲 度 系 数， 特性决定 ．弹簧振子 的 线 性 振 动 仅 发 生 在 振 幅 较
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｉ ｓ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ ｓ ｉ ｍ ｌ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｈ ｏ ｃ ｋ ａ ｂ ｓ ｏ ｒ ｂ ｅ ｒ ｓ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ ｃ ａ ｒ ｓ ａ ｓ ａ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｄ ａ ｍ ｉ ｎ Ｔ ｐ ｙ ｐ ｐ ｇ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ｍ ａ ｉ ｎ ｌ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｒ ｉ ｎ ａ ｎ ｄ ｄ ａ ｍ ｅ ｒ ．Ｗ ｅ ｕ ａ ｎ ｔ ｉ ｔ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｌ ｏ ａ ｂ ｓ ｏ ｒ ｂ ｅ ｒ － ｙ ｐ ｇ ｐ ｑ ｙ ｐ ｔ ｔ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ａ ｎ ａ ｌ ｚ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｏ ｎ ｓ ｅ ｏ ｆ ｏ ｕ ｒ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ａ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ｈ ａ ｒ ｍ ｏ ｎ ｉ ｃ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ ｙ ｐ ｐ ｓ ｏ ｆ ｔ ｗ ａ ｒ ｅ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ．Ｗ ｅ ｔ ｏ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｔ ｓ ａ ｍ ｌ ｉ ｔ ｕ ｄ ｅ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｃ ｕ ｓ ｈ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｍ ａ ｄ ｅ ａ ｃ ｏ ｍ ａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ ｐ ｙ ｐ ｇ ｐ ｏ ｕ ｒ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｒ ｉ ｎ ｓ ｈ ｏ ｃ ｋ ａ ｂ ｓ ｏ ｒ ｂ ｅ ｒ ｓ ｔ ｏ ｅ ｘ ｌ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｉ ｃ ａ ｌ ｂ ｅ ｔ ｗ ｅ ｅ ｎ ｐ ｇ ｐ ｇ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｗ ｏ ｒ ｋ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｗ ｈ ｏ ｌ ｅ ｄ ａ ｍ ｉ ｎ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ． ｐ ｐ ｇ ｙ ； ； ； ；Ｍ ａ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ Ｋ ｅ Ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｒ ｉ ｎ ｄ ａ ｍ ｉ ｎ ａ ｅ ｒ ｔ ｕ ｒ ｅ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｏ ｎ ａ ｎ ｃ ｅ ａ ｔ ｌ ａ ｂ ｓ ｐ ｐ ｇ ｐ ｇ ｐ ｙ 车辆减振模 型 ， 为实际工业工程生产提供更有参 １ 引言 振动的一种主要工程应用即 是 基 于 弹 簧 阻 尼 减振的车辆底盘减 振 系 统 的 设 计
３ ｍ ｘ ＋ｃ ｘ ＋ｋ ｘ ＋ｋ ｘ ＝０ １ ３ 其中 ， ｃ 称为系统的阻尼系数 ．
（ ） ｍ ｘ ＋ｋ ｘ ＋ｋ ｘ ＋ｋ ｘ ＝０ ３ １ ２ ３ ０时恢复力比线性关系所预 当 ｋ ２ ＝０ 且 ｋ ３＞ 期的值大 ， 称 为 非 线 性 渐 硬 弹 簧 ．实 际 生 活 与 工 ， 程应用中 更 多 的 振 动 都 以 此 为 基 本 物 理 模 型 发
Ｓ Ｔ Ｕ Ｄ Ｙ Ｏ Ｆ Ｔ Ｈ Ｅ Ｎ Ｏ Ｎ Ｌ Ｉ Ｎ Ｅ Ａ Ｒ Ｄ ＡＭＰ Ｉ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ Ｏ Ｃ Ｋ Ａ Ｂ Ｓ Ｏ Ｒ Ｂ Ｅ Ｒ Ｓ Ｓ Ｐ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ
１ ２ Ｌ ｕ ｏ Ｙ ａ ｏ ａ ｎ Ｈ ｕ ｉ Ｗ ｇ
１ （ ，Ｕ ， ， ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｃ ｈ ｅ ｎ ｄ ｕ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ ６ １ ０ ０ ０ ０ ｇ ｇ ｙ ｇ ｙ ｇ ２ ，Ｕ ， ， ） （ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｐ ｈ ｓ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｃ ｈ ｅ ｎwenku.baidu.comｄ ｕ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ ６ １ ０ ０ ０ ０ ｙ ｙ ｇ ｙ ｇ
图 １ 势能曲线
３ ｘ ＋ｃ ｘ ＋ｋ ｘ ＋ｋ ｘ ｍ １ ３
· ·
·
其曲线依然关 于 ｘ＝０ 对 称 ．其 势 能 曲 线 比 线 性 弹簧略陡 ， 表明随振幅增大其响应大于线性弹簧 ， 振动速度更快 ， 频 率 更 高 ．设 ｍ ＝１， 响应 ， ｋ １ ＝１
· ， 绘出其振动曲线 ｘ ｘ０ ＝１， ｋ ５， ０ ＝０ ３ ＝０ 或 ｋ ３ ＝０． 如图 ２ 所示 ．
）＝ Ａ ｘ（ ｔ ｃ ｏ ｓ ｔ ω （ ） １ １ ３ ３ ３ ） ， ） 代入式 （ 利用 （ ｏ ｓ ｉ ｎ ９ ｃ ｏ ｓ ｂ ｔ ＝ ｃ ｂ ｔ ＋ ｓ ｂ ｔ得 ４ ４ ３ ２ ２ （ ｋ Ａ± ｋ Ａ３］ ｃ ｏ ｓ ｂ ｔ－ｋ ｂ Ａｓ ｉ ｎ ｂ ｔ ［ １ －ｋ ２） ３ ３ ４ （ ） ｃ ｏ ｓ ｂ ｔ＋Ｆ２ ｓ ｉ ｎ ｂ ｔ １ ２ ＝Ｆ １ 比较两边三角函数的系数并进行整理可得 ３ ２ ２ ２ （ ｋ Ａ± ｋ Ａ３］ ＋ ［ ｋ ｂ Ａ］ ［ １ －ｋ ２） ３ ３ ４