材料力学PPT课件13-第十三讲-静不定问题分析_2_-对称与反对称(16：9)
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第十四章 静不定问题分析
目录
§1 引言 §2 用力法分析静不定问题 §3 对称与反对称静不定问题分析 §4 平面刚架空间受力分析 §5 位移法概念
上讲回顾
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数
可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate Problems） （超静定问题）
对称结构与对称、反对称载荷
对称结构
对称载荷
反对称载荷
对称轴(面)
结构具有对称 的形状、尺寸、 弹性性能与约 束条件
载荷作用点(或 面)、大小、方 位与指向(或转 向)均对称
载荷作用点(或面)、 大小与方位均对 称，但指向(或转 向)反对称
对称结构 对 称 承 载
对称定律
对称载荷
反对称载荷 P
内力、变形对称
对称的 截面上
内力、变形反对称
反
对
称F
F
承
载
对称面上受力与变形特点——限制条件
考察对称面两侧截面的内力与位移
对 称 承 载
反 对 称 承 载
内力 变形
对称或反对称条件 互为作用力与反作用力
对称或反对称条件 变形连续条件
对称定律 牛顿第三定律
对称面上受力与变形特点——特点
对
反
称
对
l
C / C
4 EI
a
0 M ( x1 )M ( x1 )dx1
a 0
M
(
x2
)
M
(
x2
)dx2
3.
M ( x1 ) 1，
C / C
画弯矩图
M ( x2 ) 1， M ( x1 ) MC ， M ( x2 ) MC
8MC Faa 0
EI
得：M C
Fa 8
通过相当系统画弯矩图 M max
3Fa 8
Fx 2
2
4. 讨论：变形协调条件与单位载荷状态
1
条件一：
1
C / C 0
需求三段内力
单位基载本荷系状统态
相当系统
条件二：
1
条件三：
1
C / D 0
C 0
C / D 0
C 0
4. 讨论：变形协调条件与单位载荷状态
条件四：
1
C / A 0 C 0
条件五：
1
相当系统
fC / C 0
1
是否可用？
5. 讨论：求载荷作用点处水平方向相对位移ΔA/G 如何选取单位载荷状态?
直接得到 A/G
G
相当系统
1
1
A/ D 2 A/G
反对称静不定结构受力分析
试求图示刚架截面 C 的转角，EI 为常数
1. 问题分析 三度静不定 将 Me 等分为二，分别作用在截面 C 的两侧，得 一结反论对：称唯静一不未定知问多题余，力M－CF＝SCFNC＝0
承
称
载
承
载
仅存在对称性内力－弯矩
M与轴力FN， 而剪力 FS ＝ 0 轴向位移 Δ= 0，转角 θ= 0
仅存在反对称性内力
－剪力 FS 而M=0，FN= 0 横向挠度 f = 0
注意：利用问题的对称性，可直接确定对称面上的多余约束力，从 而简化计算分析，但并不降低静不定度
对称静不定结构受力分析
试分析图示刚架的弯矩，EI为常数
基本系统、相当系统不唯一
补充方程 的形式
支座处位移边界条件 结构内部位移连续条件
外力静不定 内力静不定
在基本系统上加单位力求静不定结构的位移
§3 对称与反对称静不定问题分析
对称结构与对称、反对称载荷 对称定律 对称面上受力与变形特点 对称静不定结构受力分析 反对称静不定结构受力分析 例题
二、平面刚架和曲杆
轴线为单闭合曲线的平面刚架或平面曲杆、且仅在 轴线平面内承受外力时，为 3 度内力静不定问题
静不定度判断
三、混合结构
安装法 拆卸法
小结： 静不定度＝多余约束数 ＝多余约束反力数 ＝补充方程数 多余约束、多余约束反力不唯一
力法小结：
力法求解思路
多余约束力 原有外载荷
相当系统
未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 内部 混合
型三 种 类
静不定度判断
一、平面桁架
m: 杆数 n: 节点数 k: 支座约束数 1、对无支座桁架 内力静不定度 = m - 2n + 3 2、对有支座桁架 静不定度 = m + k - 2n
静不定 结构
解除多余约束 静定结构
受力、变形与 原结构相当的
静定结构
基本系统
多余约束处的
结构的应力、位移
多余约束力 位移满足变形
协调条件
利用基本系统
静定分析
静不定
问题得解
力法要点
多余约束、多余约束力不唯一
基本系统：解除静不定结构中的多余约束后所得静定结构， 也叫静定基；
相当系统：解除多余约束，代之以多余约束反力，受力、 变形与原结构相当的静定结构
N1 N3 0
P
3
m’
P
对称面n-n’上：
N2 N4 0
N5 P N6 P
例5：已知P、l、E、I，求D端支反力。
PB
l
l
A
C 解: 结构对称，载荷不对称 三度内力静不定
（三度外力静不定）
D
可否简化？
B P/2
C P/2
B P/2
C P/2
A
D
A
D
解: 一度外力静不定 结构关于BD对称，载荷反对称
l
沿45度方向切开B截面
D A A
C
M/2 F F’
M/2
对称面处： F 0
M MB 2
沿BD方向的线位移为零
构造相当系统：
M RA H A 2l
例4：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力。
P
m
1
P 解: 结构对称，载荷反对称
2
n
5
6
n’
4
对称面m-m’上：
15 M e
14FSC l
0
得：FSC
15M e 14l
3. 位移计算
要点：通过相当系统的任一半，例如左半部，计算位移
C
1 EI
l/2
0 M ( x1 )M ( x1 )dx1
l 0
M
(
x2
)M
(
x2
)dx2
C
9Mel 112EI
（Q）
例3：图示刚架，EI为常数，求支反力。
A
l
M B
2. 求解静不定
S,C- / C 0
S,C / C
2 EI
l/2
0 M ( x1 )M ( x1 )dx1
l 0
M
(
x2
)
M
(
x2
)dx2
M ( x1 )
x1
，M
( x2
)
l 2
M ( x1 )
Me 2
FSC x1
，M ( x2 )
Me 2
FSC l 2
S,C / C
l来自百度文库 24 EI
1. 问题分析 3度内力静不定
存在AA’与CC’两对称轴－双对称问题
左右对称，FS,C FS,C' 0 上下对称，FN,C FN,C'
Fx 0, FNC＋FNC F
FNC
FNC
F 2
结论：一个未知多余力－MC
2. 求解静不定
4段对称
C /C 0
C / C
1 EI
M ( x)M ( x)dx
目录
§1 引言 §2 用力法分析静不定问题 §3 对称与反对称静不定问题分析 §4 平面刚架空间受力分析 §5 位移法概念
上讲回顾
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数
可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate Problems） （超静定问题）
对称结构与对称、反对称载荷
对称结构
对称载荷
反对称载荷
对称轴(面)
结构具有对称 的形状、尺寸、 弹性性能与约 束条件
载荷作用点(或 面)、大小、方 位与指向(或转 向)均对称
载荷作用点(或面)、 大小与方位均对 称，但指向(或转 向)反对称
对称结构 对 称 承 载
对称定律
对称载荷
反对称载荷 P
内力、变形对称
对称的 截面上
内力、变形反对称
反
对
称F
F
承
载
对称面上受力与变形特点——限制条件
考察对称面两侧截面的内力与位移
对 称 承 载
反 对 称 承 载
内力 变形
对称或反对称条件 互为作用力与反作用力
对称或反对称条件 变形连续条件
对称定律 牛顿第三定律
对称面上受力与变形特点——特点
对
反
称
对
l
C / C
4 EI
a
0 M ( x1 )M ( x1 )dx1
a 0
M
(
x2
)
M
(
x2
)dx2
3.
M ( x1 ) 1，
C / C
画弯矩图
M ( x2 ) 1， M ( x1 ) MC ， M ( x2 ) MC
8MC Faa 0
EI
得：M C
Fa 8
通过相当系统画弯矩图 M max
3Fa 8
Fx 2
2
4. 讨论：变形协调条件与单位载荷状态
1
条件一：
1
C / C 0
需求三段内力
单位基载本荷系状统态
相当系统
条件二：
1
条件三：
1
C / D 0
C 0
C / D 0
C 0
4. 讨论：变形协调条件与单位载荷状态
条件四：
1
C / A 0 C 0
条件五：
1
相当系统
fC / C 0
1
是否可用？
5. 讨论：求载荷作用点处水平方向相对位移ΔA/G 如何选取单位载荷状态?
直接得到 A/G
G
相当系统
1
1
A/ D 2 A/G
反对称静不定结构受力分析
试求图示刚架截面 C 的转角，EI 为常数
1. 问题分析 三度静不定 将 Me 等分为二，分别作用在截面 C 的两侧，得 一结反论对：称唯静一不未定知问多题余，力M－CF＝SCFNC＝0
承
称
载
承
载
仅存在对称性内力－弯矩
M与轴力FN， 而剪力 FS ＝ 0 轴向位移 Δ= 0，转角 θ= 0
仅存在反对称性内力
－剪力 FS 而M=0，FN= 0 横向挠度 f = 0
注意：利用问题的对称性，可直接确定对称面上的多余约束力，从 而简化计算分析，但并不降低静不定度
对称静不定结构受力分析
试分析图示刚架的弯矩，EI为常数
基本系统、相当系统不唯一
补充方程 的形式
支座处位移边界条件 结构内部位移连续条件
外力静不定 内力静不定
在基本系统上加单位力求静不定结构的位移
§3 对称与反对称静不定问题分析
对称结构与对称、反对称载荷 对称定律 对称面上受力与变形特点 对称静不定结构受力分析 反对称静不定结构受力分析 例题
二、平面刚架和曲杆
轴线为单闭合曲线的平面刚架或平面曲杆、且仅在 轴线平面内承受外力时，为 3 度内力静不定问题
静不定度判断
三、混合结构
安装法 拆卸法
小结： 静不定度＝多余约束数 ＝多余约束反力数 ＝补充方程数 多余约束、多余约束反力不唯一
力法小结：
力法求解思路
多余约束力 原有外载荷
相当系统
未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 内部 混合
型三 种 类
静不定度判断
一、平面桁架
m: 杆数 n: 节点数 k: 支座约束数 1、对无支座桁架 内力静不定度 = m - 2n + 3 2、对有支座桁架 静不定度 = m + k - 2n
静不定 结构
解除多余约束 静定结构
受力、变形与 原结构相当的
静定结构
基本系统
多余约束处的
结构的应力、位移
多余约束力 位移满足变形
协调条件
利用基本系统
静定分析
静不定
问题得解
力法要点
多余约束、多余约束力不唯一
基本系统：解除静不定结构中的多余约束后所得静定结构， 也叫静定基；
相当系统：解除多余约束，代之以多余约束反力，受力、 变形与原结构相当的静定结构
N1 N3 0
P
3
m’
P
对称面n-n’上：
N2 N4 0
N5 P N6 P
例5：已知P、l、E、I，求D端支反力。
PB
l
l
A
C 解: 结构对称，载荷不对称 三度内力静不定
（三度外力静不定）
D
可否简化？
B P/2
C P/2
B P/2
C P/2
A
D
A
D
解: 一度外力静不定 结构关于BD对称，载荷反对称
l
沿45度方向切开B截面
D A A
C
M/2 F F’
M/2
对称面处： F 0
M MB 2
沿BD方向的线位移为零
构造相当系统：
M RA H A 2l
例4：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力。
P
m
1
P 解: 结构对称，载荷反对称
2
n
5
6
n’
4
对称面m-m’上：
15 M e
14FSC l
0
得：FSC
15M e 14l
3. 位移计算
要点：通过相当系统的任一半，例如左半部，计算位移
C
1 EI
l/2
0 M ( x1 )M ( x1 )dx1
l 0
M
(
x2
)M
(
x2
)dx2
C
9Mel 112EI
（Q）
例3：图示刚架，EI为常数，求支反力。
A
l
M B
2. 求解静不定
S,C- / C 0
S,C / C
2 EI
l/2
0 M ( x1 )M ( x1 )dx1
l 0
M
(
x2
)
M
(
x2
)dx2
M ( x1 )
x1
，M
( x2
)
l 2
M ( x1 )
Me 2
FSC x1
，M ( x2 )
Me 2
FSC l 2
S,C / C
l来自百度文库 24 EI
1. 问题分析 3度内力静不定
存在AA’与CC’两对称轴－双对称问题
左右对称，FS,C FS,C' 0 上下对称，FN,C FN,C'
Fx 0, FNC＋FNC F
FNC
FNC
F 2
结论：一个未知多余力－MC
2. 求解静不定
4段对称
C /C 0
C / C
1 EI
M ( x)M ( x)dx