避难所对一类阶段结构捕食-食饵模型的影响

种群灭绝．给出两个例子证明所获得的结论．
关键词：捕食 －食饵模型；阶段结构；避难所；轨道稳定；全局稳定
中图分类号：０１７５
文献标识码：Ａ
Ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｒｅｆｕｇｅｏｎａｓｔａｇｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｍｏｄｅｌ
ＣＨＥＮＬｉｕ－ｊｕａｎ１，ＣＨＥＮＦｅｎｇ－ｄｅ２
０ 引言
近年来，越来越多人关注阶段结构模型［１－５］，文［１］研究了如下一类具阶段结构的捕食模型：
·ｘ＝ｘ（ｒ－ａｘ）－１ｂ＋ｘｙｍ２ｘ
·ｙ１
＝ ｋｂｘｙ２ －（Ｄ １＋ｍｘ
＋ｖ１）ｙ１
·ｙ２ ＝Ｄｙ１ －ｖ２ｙ２
（１）
其中：ｘ，ｙ１，ｙ２分别表示食饵、幼体捕食者，成体捕食者的数量或密度；ｒ，ａ，ｂ，ｋ，ｍ，Ｄ，ｖ１，ｖ２均为正常
避难所对一类阶段结构捕食 －食饵模型的影响
陈柳娟１，陈凤德２
（１．福建教育学院理科研修部，福建 福州 ３５００２５；２．福州大学数学与计算机科学学院，福建 福州 ３５０１１６）
摘要：研究一类具食饵避难所的阶段结构捕食 －食饵模型．通过详细分析模型的动力学行为，获得较小容量的
避难所不影响种群的动力学行为，而较大容量的避难所有稳定性作用并且随着避难所容量的增大，可能导致
（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＳｃｉｅｎｃｅＴｒａｉｎｉｎｇ，ＦｕｊｉａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５００２５，Ｃｈｉｎａ； ２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＦｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０１１６，Ｃｈｉｎａ）
第 ４１卷 第 ３期 ２０１３年 ６月
福州大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ．４１Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２０１３
ＤＯＩ：１０．７６３１／ｉｓｓｎ．１０００－２２４３．２０１３．０３．０２８３
文章编号：１０００－２２４３（２０１３）０３－０２８３－０８
我们提出并研究以下这种模型：
·ｘ＝ｘ（ｒ－ａｘ）－１ｂ＋（１ｍ（－１ｎ）－ｘｎｙ）２ｘ
·ｙ１
＝ ｋｂ（１－ｎ）ｘHale Waihona Puke Baidu２ －（Ｄ １＋ｍ（１－ｎ）ｘ
＋ｖ１）ｙ１
·ｙ２ ＝Ｄｙ１ －ｖ２ｙ２
（８）
这里 ｎ∈［０，１），避难所保护 ｎｘ个食饵免于被捕食，而捕食者种群能捕食到的食饵数量是（１－ｎ）ｘ．
１ 模型（８）基本性质
局渐近稳定的．
定理 ２［１］ 如果条件（２）和（６）成立，则模型（１）至少有一个轨道渐近稳定的周期解．
一些学者指出，在很多情况下存在一个固定比例的食饵避难所，使得这部分食饵免于被捕食．数学模
型和实验表明，避难所对捕食者与食饵之间的相互作用具有稳定作用．例如，文［６］考虑如下模型：
{·ｘ＝ａｘ（１－ ｘ ｋ）－１β＋（１ａ（－１ｎ－）ｎｘｙ）ｘ
数．这里幼体捕食者既不能捕食也不会繁殖，１＋ｂｘｍｘ是成体捕食者的捕食率（ＨｏｌｌｉｎｇⅡ 类功能性反应）．
ｖ１，ｖ２分别表示捕食者幼体，成体的死亡率；ｋ是食饵到幼体捕食者的转化系数；Ｄ表示幼体捕食者到成体 捕食者的转化率．
设
－ｘ≤
ｌｉｍ ｉｎｆｘ（ｔ），ｘ ｔ→∞
＝Ｄｋｂ（－Ｄｍ＋（Ｄｖ１）＋ｖ２ｖ１）ｖ２，ｙ２
·ｙ＝－ｄｙ＋１ｃβ＋（ａ１（１－ｎ－）ｎｘ）ｙｘ
（７）
这里 ｎ∈［０，１）是一个常数并且捕食者种群能捕食到的食饵数量是（１－ｎ）ｘ．作者指出避难所对捕食者与
食饵之间的相互作用具有稳定作用，随着避难所容量的增大，食饵的数量逐渐增加，最终导致种群灭绝．
更多生物背景和食饵避难所影响的结果可以参考文献［６－１１］及其中列出的文献．
＝ ｖＤ２ｙ２ ，ｙ２
＝（（１ｒ＋－ｍａｘｘ））ｂ．令：
ａｋ＋ｂｒＤｍｒ＞（Ｄ＋ｖ１）ｖ２
（２）
收稿日期：２０１２－０３－２０ 通讯作者：陈柳娟（１９６９－），副教授：Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｚｃｈｅｎｌｊ＠１６３．ｃｏｍ 基金项目：福建省自然科学基金资助项目（２０１１Ｊ０１００７）；福建省科技创新平台计划资助项目（２００９Ｊ１００７）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓｔａｇｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇａｐｒｅｙｒｅｆｕｇｅｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｂｙ ｄｅｔａｉｌａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌ，ｗｅｓｈｏｗｔｈａｔｓｍａｌｌｒｅｆｕｇｅｈａｓｎｏｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｎｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌａｎｄｌａｒｇｅｒｅｆｕｇｅｈａｓｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｚｅｅｆｆｅｃｔａｎｄｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｔｈｅａｍｏｕｎｔｏｆ ｒｅｆｕｇｅｃａｎｌｅａｄｔｏｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｏｕｔｂｒｅａｋｓ．Ｔｗｏｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｏｆｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｍｏｄｅｌ；ｓｔａｇｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ｒｅｆｕｇｅ；ｏｒｂｉｔａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｇｌｏｂａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ
·２８４·
福州大学学报（自然科学版）
第 ４１卷
ｘ （Ｄ＋ｖ１ ＋ｖ２）（ａ＋２ｍａｘ
－ｍｒ）（Ｄ
＋ｖ１
＋ｖ２
＋ｘ
（ａ＋２ｍａｘ １＋ｍｘ
－ｍｒ）） ＞ｂ（Ｄ１＋＋ｖｍ１）ｘｖ２ｙ２
（３）
Ｄ ＋ｖ１
＞ｒ， ｘ＞ ｒ ２ａ
（４）
Ｄ ＋ｖ１
ｒ＋Ｄ ＜ｒ， ｘ＞
＋ｖ１
２ａ
（５）
ｘ （Ｄ＋ｖ１ ＋ｖ２）（ａ＋２ｍａｘ
－ｍｒ）（Ｄ
＋ｖ１
＋ｖ２
＋ｘ
（ａ＋２ｍａｘ １＋ｍｘ
－ｍｒ）） ＜ｂ（Ｄ１＋＋ｖｍ１）ｘｖ２ｙ２
（６）
文［１－２］得到如下的正平衡点 Ｅ （ｘ ，ｙ１ ，ｙ２ ）的全局渐近稳定性和周期解． 定理 １［２］ 如果条件（２）和（３）成立，并且条件（４）或（５）有一个满足，则模型（１）的正平衡点 Ｅ 是全
引理 １ 对任意 ｔ≥ ０，模型（８）具初始值 ｘ（０）≥ ０，ｙ１（０）≥ ０，ｙ２（０）≥ ０的解 ｘ（ｔ），ｙ１（ｔ），ｙ２（ｔ）
有界．
证明 定义函数 Ｆ（ｘ，ｙ１，ｙ２） ＝ｘ＋１ｋ（ｙ１ ＋ｙ２）．由模型（８）可得．