2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
2013届高三数学一轮复习讲义 直线与圆、圆与圆(人教A版)
直线与圆、圆与圆的位置关系要点梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：___相离_____、___相切_____、___相交_____． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔___相交_____，d ＝r ⇔___相切_____，d >r ⇔___相离_____.. 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． 弦长|AB|＝2r 2－d 2 (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ]．说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．3．求过点P (x 0，y 0)的圆x 2＋y 2＝r 2的切线方程与切线长 (1)过点P 作圆的切线有三种类型：若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2相切的切线方程为____ x 0x ＋y 0y ＝r 2________________________． 注：点P 必须在圆x 2＋y 2＝r 2上．经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上点P (x 0，y 0)的切线方程为___ _(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2__________．若P (x 0，y 0)在圆外时，则过P 的切线方程可设为y －y 0＝k (x －x 0)，利用待定系数法求解．一般运用圆心到直线的距离等于半径，但注意有两条切线说明：k 为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．当P 在圆内时，不存在． (2)切线长的求法：过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为M ，半径为R ，则|PM|＝|PC|2－R 2. 4．判断圆与圆的位置关系常用方法：从圆心距和两圆半径的关系入手(几何法)设⊙C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，⊙C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)，则有：|C 1C 2|>r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2____相离____； |C 1C 2|＝r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2____外切 ____； |r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2⇔⊙C 1与⊙C 2____相交____； |C 1C 2|＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔⊙C 1与⊙C 2___内切_____；0≤|C 1C 2|<|r 1－r 2|⇔⊙C 1与⊙C 2___内含_____．设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2__相离______； (2)已知两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为___(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0____，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0. 5．求圆外一点P 到圆O 上任意一点距离的最小值为|PO |－r ，最大值为|PO |＋r (其中r 为圆O 的半径)．基础自测1． 已知圆C 经过M (2，－1)和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的方程为_____(x －1)2＋(y ＋2)2＝2_________________2．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是__相交______．3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是___(－∞，0)∪(10，＋∞)_____________．4．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A .⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[)0，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 6．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0题型一 直线与圆的位置关系例1已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12． 试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (1)方法一 证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝12， 消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．方法二证明 圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k2，圆C 的半径R ＝23，R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k 2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，所以R 2－d 2>0，即d <R ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．方法三 (1)证明 因为不论k 为何实数，直线l 总过点A (0，1)，而|AC |＝5<23＝R ，所以点A (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点A . 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．题型二 圆的弦长、中点弦问题例2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程． 解 (1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，连接AC 、BC ， 则|AD|＝23，|AC|＝4，在Rt △ACD 中，可得|CD|＝2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋－12＝2，解得k ＝34.当k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.方法二 当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ， 则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5.联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k)x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k2，x 1x 2＝－111＋k2.②由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝4 3.将②式代入，解得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D(x ，y)，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0， (x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.变式训练2已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12．求直线l 被圆C 截得的最短弦长．方法一 设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被 圆C 截得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝211－4k ＋31＋k 2，令t ＝4k ＋31＋k2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0， 当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.方法二解 由平面几何知识，知|AB |＝2R 2－d 2＝2 8－4k ＋11k 21＋k 2，下同方法一．方法三 由平面几何知识知过圆内定点A (0,1)的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点A (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27， 即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.题型三 圆的切线问题例3 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4．(1)求过M 点的圆的切线方程； (2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值； 解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2， ①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时， 设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．变式训练3已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；解 将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k 2＝2，解得k ＝2±6，得y ＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时， 设直线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1，或a ＝3.∴直线方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x ，或y ＝(2－6)x ， 或x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.题型四 圆与圆的位置关系例4 a 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0． (1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切． 解 将两圆方程写成标准方程． C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9， C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2， 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或a ＝2. (2)当1<d <5，即1<2a 2＋6a ＋5<25时，两圆相交，此时－5<a <－2或－1<a <2. (3)当d >5，即2a 2＋6a ＋5>25时，两圆外离，此时a >2或a <－5. (4)当d ＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或a ＝－2.探究提高 判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．变式训练4 (1)圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． ①若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；②若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解 (1)设圆O 2的半径为r 2，由于两圆外切， ∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2， r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)， 故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. ∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为2＝4－⎝⎛⎭⎫2222＝2，解得r 22＝4或r 22＝20. 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，m 为何值时，圆C 1与圆C 2内含．解：如果C 1与C 2内含，则有22(m 1)(m 2)+++<3－2.(m ＋1)2＋(m ＋2)2<1，m 2＋3m ＋2<0，得－2<m<－1， ∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切； 当－2<m<－1时，圆C 1与圆C 2内含．(3)已知⊙A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，⊙B ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2－1＝0.当a ，b 变化时，若⊙B 始终平分⊙A 的周长，求：(1)⊙B 的圆心B 的轨迹方程； (2)⊙B 的半径最小时圆的方程． 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A 的直径，将(－1，－1)代入①得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.②设圆B 的圆心为(x ，y)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b，∴其轨迹方程为x 2＋2x ＋2y ＋5＝0.(2)⊙B 方程可化为(x －a)2＋(y －b)2＝1＋b 2.由②得b ＝－12[(a ＋1)2＋4]≤－2，∴b 2≥4，b 2＋1≥5.当a ＝－1，b ＝－2时，⊙B 半径最小， ∴⊙B 方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5. 题型五 综合应用例5 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB 为直径的圆经过原点O ，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心为C(1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B ，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程， 整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，b 2＋6b －9<0，解得－3－32<b<－3＋3 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由OA ⊥OB ，知x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0， ∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0.即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.变式训练6 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l 过点A(0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.① 由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k 2)×7>0， 得4－73<k<4＋73.方法二 同方法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1， ∴d ＝|2k －2|k 2＋1<1，解得4－73<k<4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由①得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4＋4k1＋k2x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝24k(1k)1k++＋8＝12⇒k ＝1(经检验符合题意)，∴k ＝1.直线与圆练习（1）一、选择题1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交D ．相切 2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3B ．2C. 6D ．2 33．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 ( ) A.12 B .35 C.32D ．0 4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6]5．已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2 二、填空题6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0 (a >0)的公共弦长为23，则a ＝_1_______. 7．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是____(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1_________ 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是__(－13,13)______．9．已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝___－10_____.10．设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧»AB 上，则圆C 2的半径的最大值是___1_____．三、解答题11．一直线经过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程． 解 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. ∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3，∴⎪⎪⎪⎪k ·0－0＋3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34.所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．(4分)设l 的方程为y －3＝k(x ＋3)，则|5k ＋2＋3|12＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.直线与圆练习（2）一、选择题1．若直线2ax －by ＋2＝0 (a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B.12C ．2D ．42若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－33，33)B ．(－33，0)∪(0，33)C ．[－33，33]D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞)3．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于 ( ) A ．4 B ．4 2C ．8D ．8 24．若圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线l 1：x －y －1＝0对称，动圆P 与圆C 相外切且与直线l 2：x ＝－1相切，则动圆P 的圆心的轨迹方程是 ( )A ．x 2＋y 2＋x ＝0B ．y 2－2x ＋2y ＋3＝0C ．y 2－6x ＋2y －2＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0二、填空题5．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是___4_______．6．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相切，则实数m ＝_±2或－5或－1_________. 7．过点M ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为___2x －4y ＋3＝0___________．8．圆x 2＋y 2＝8内一点P (－1,2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点．当弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 ．解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝8，x 22＋y 22＝8，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.(10分)∴直线l 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.9．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)， 则四边形ABCD 的面积的最大值为________．解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离为d 1、d 2，垂足分别为E 、F ，则四边形OEMF 为矩形，则有d 21＋d 22＝3.由平面几何知识知AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5.10．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是 ________． 解析：y ＝3－4x －x 2变形为(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，只需直线y ＝x ＋b 在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y ＝x ＋b 与下半圆相切时，圆心到直线y ＝x ＋b 的距离为2，即|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，∴b 的取值范围为1－22≤b ≤3. 答案：[1－22，3] 三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O . (1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝ba ＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意， 则⎩⎪⎨⎪⎧(m －4)2＋n 2＝42m 2＋n 2≠0(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧m ＝45n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．12 ．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4和圆外一点A (1，23)，(1)若直线m 经过原点O ，且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程； (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为D ，E ，求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程．解 (1)方法一 圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1.则圆心到直线m 的距离恰为1.设直线方程为y ＝kx ，d ＝|－k －0|1＋k 2＝1， k 无解．直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0显然成立．所以所求直线为x ＝0.(2)设直线方程为y －23＝k (x －1)，d ＝|－2k ＋23|1＋k 2＝2，解得k ＝33， 所求直线为y －23＝33(x －1)，即x －3y ＋5＝0， 斜率不存在时，直线方程为x ＝1，∴切线l 的方程为x ＝1或x －3y ＋5＝0，过点C 、D 、E 、A 有一外接圆，x 2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－23y －1＝0，过切点的直线方程为x ＋3y －1＝0.13．如图所示，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P .（1）求圆A 的方程;（2）当||219MN =l 的方程.（3）BQ BP ⋅u u u r u u u r 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.(1) 22(1)(2)20x y ++-=.（2）2x =-或3460x y -+=.（3）⋅u u u r u u u r BQ BP 是定值，且5⋅=-u u u r u u u r BQ BP .。
高三数学人教A数学(理)高考一轮复习课件：第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的 心为(2,1)，半径为 2.因为直线 l
所以圆心在直 对称轴．过点 A(－4，a)作圆 C 为圆 C 的对称轴，
考点一
直线与圆的位置关 系|
试题
解析
1．对任意的实数 k，直线 y＝kx －1 与圆 C：x ＋y －2x－2＝0 的位置关系是( C )
题组训练
2 2
直线 y＝kx－1 恒经过点 A(0， －1)，圆 x2＋y2－2x－2＝0 的 圆心为 C(1,0)，半径为 3，而 |AC|＝ 2< 3，故直线 y＝kx －1 与圆 x2＋y2－2x－2＝0 相 交，故选 C.
栏目 导引
知识点二
l l，则22＝r2－d2.
第十二章
选考部分
知识点一
[自测练习]
试题
解析
知识点一
1． 直线 l： mx－y＋1－m＝0 与圆 C： 圆心到直线的距离 d＝ x2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( A ) A．相交 B．相切 D．与 m 的取值有关
|－1－m＋1| |m| ＝ 2 2 m ＋1 m ＋1 <1＝r，故选 A.
d＝|r1－r2| _________
d<|r1－r2| ________
栏目 导引
第十二章
选考部分
知识点二
知识点一
易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切 两种情形．
知识点二
栏目 导引
第十二章
选考部分
知识点二
[自测练习]
4．圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系 是( B )
直线与圆的复习课件
这个ppt课件将帮助大家复习直线与圆的基本概念、位置关系、方程、解析几 何、应用等知识点。通过生动的图片和精心设计的布局，让你轻松理解和掌 握这些内容。
直线与圆的基本概念
1 直线的定义及表示方法
2 圆的定义及表示方法
直线是由一系列无限延伸的相连点组成， 可以用两点表示或用方程表示。
自测与总结
1 选择题测试
2 总结归纳主要知识点
通过选择题测试来检验对直线与圆的理解 程度。
对直线与圆的复习进行总结，概括掌握的 重要知识点。
2
圆心与半径的推导
通过方程的系数可以求得圆心的坐标(a, b)和半径的长度r。
直线与圆的解析几何
直线与圆的交点坐标的 求解
通过联立直线和圆的方程， 解方程组可以求得交点的坐 标。
直线与圆的切点坐标的 求解
切线是与圆相切的直线，在 求解交点的同时要满足切线 的条件。
判定直线是否与圆相切、 相离或相交
通过计算直线与圆的距离或 计算圆心到直线的距离，可 以判断它们之间的位置关系。
直线与圆的应用
1
利用相似、对称等方法解决几
2
何问题
在解决几何问题时，可以运用相似三 角形、对称性等方法结合直线与圆的
知识进行推导和分析。
圆的切线及其性质
圆的切线是与圆相切且仅与圆有一交 点的直线，切线的性质有切点在切线 上、切线垂直于半径等。
圆是由距离圆心相等的点组成，可以用圆 心坐标和半径长度表示。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的情况
直线可以与圆相交于两个交点、一个交点的点距离圆心更近，圆外的点距离圆心更远，圆上的点与圆心的距离等于圆的半径。
求解圆的方程
1
高考数学(理)一轮复习课件：第八章第四节 直线、圆的位置关系(广东专用)
知 能
自
程是什么？
主
落 实
【提示】 x0x＋y0y＝r2
· 固
2．两圆相交，公共弦所在直线的方程与两圆的方程有何关系？
高 考 体 验
基 础
·
【提示】 两个圆的方程相减得到的方程是公共弦所在直线
明
考
的方程．
情
课 时 知 能 训 练
菜单
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
究
·
1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是( )
基
∴直线 l 的方程为 y＝kx＋1.
础
由|2k－k23＋＋11|＜1，得4－3
7＜k＜4＋3
7 .
高 考 体 验 · 明 考 情
(2)证明 设过点 A 引圆 C 的一条切线为 AT，T 为切点，
则 AT2＝[(0－2)2＋(1－3)2]－12＝7.
课 时
∴A→M·A→N＝|A→M||A→N|cos 0°＝AT2＝7，
知 能
∴A→M·A→N为定值．
训 练
菜单
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
究
·
(3)设 M(x1，y1)、N(x2，y2)， 将 y＝kx＋1 代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1 得(1＋k2)x2－
提 知 能
自 主 落 实 · 固 基 础
4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝411＋＋kk2，x1x2＝1＋7 k2，
考
【思路点拨】 (1)根据两圆外切求出圆O2的，求出直线AB的方程，根据点O1到直线AB
课 时
的距离，列方程求解．
知
课堂新坐标2013届高考数学一轮复习课件：选修4-1第二节 直线与圆的位置关系(广东专用)
考 情
课 时 知 能 训 练
菜单
第十八页，编辑于星期日：二十点 十九分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
如图29所示，AB是⊙O的直径，
究 ·
提
⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.若∠
知
能
自
ADE＝50°，则∠ABD＝________.
主
高
落
考
实 ·
【解析】 连结 OD.∵BD＝CD，OA＝OB，
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
第二节 直线与圆的位置关系
探
究
·
提
知
能
自
主
高
落
考
实
体
·
验
固
·
基
明
础
考 情
课 时 知 能 训 练
菜单
第一页，编辑于星期日：二十点 十九分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
究
1．圆周角定理
· 提
圆上一条弧所对的圆周角_______等__它于所对的圆心角的一半．
自
主 落
2．本题在考查知识的同时，重在考查分析问题的能力，知识与
高 考
实
能力并重．
·
体 验
固
·
基
明
础
考 情
课 时 知 能 训 练
菜单
第十四页，编辑于星期日：二十点 十九分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
(2011·广东高考)如图27，过圆O
究
·
外一点P分别作圆的切线和割线交圆
2013年状元360理科数学一轮复习课件(人教版)15.2直线与圆的位置关系
2．圆内接四边形的性质定理：
(1)圆内接四边形的对角__互__补____． (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的_对__角_____．
圆内接四边形的判定定理：
(1)如果一个四边形的__对__角__互__补____，那么这个四边形的四
个顶点共圆．
(2)如果四边形的一个外角等于它的内角的__对__角____，那么
展示2 如下图所示，已知 BC 是⊙O 的弦，P 是 BC 延长线 上一点，PA 与⊙O 相切于点 A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°， 求∠P 的度数．
【答案】55°
【解析】∵PA 是圆的切线， ∴∠B＝∠PAC＝25°. ∵∠ACP＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°， ∴∠P＝180°－100°－25°＝55°.
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
___圆__心__角___的一半．
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角__相__等____，同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的__弧____也相等．
推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是_直 ___角____，90°的圆周 角所对的弦是__直___径___．
【解析】(1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)由(1)，得△ABE∽△ADC. 所以AABE＝AADC，即AB·AC＝AD·AE. 又S＝12AB·ACsin∠BAC且S＝12AD·AE， 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE. 则sin∠BAC＝1.又∠BAC为三角形的内角， 所以∠BAC＝90°.
这个四边形的四个顶点共圆．
3．圆的切线的性质定理： (1)圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 圆的切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
高考数学一轮复习 直线与圆的位置关系课件 新人教A版选修4-1
所以C，B，D，E四点共圆． (2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2 ＝12.故AD＝2，AB＝12. 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂 线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所 以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠A＝90° ，故GH∥AB，HF∥AC.
解析
∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20° .
∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60° . ∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＝∠FCE＝60° .
答案
60°
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90° ，AB＝10，AC＝6， 以AC为直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________．
解析
连接CP，由推论2知∠CPA＝90° ，
点B在圆O上，BC＝2，∠BCD＝30° ，则圆O的面积为________．
1题图
2题图
(2)(2013· 重庆卷)如上图，在△ABC中，∠C＝90° ，∠A＝ 60° ，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析
由相交弦定理PA· PB＝PC· PD，代入数据得PC＝4，所 52 3 7 － ＝ . 2 2
2
以CD＝5，从而圆心O到弦CD的距离为
Байду номын сангаас答案
3 2
题型三
圆内接四边形的性质与判定
【例3】
(2013· 长春模拟)如图所示，D，E分别为△ABC的
边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为 m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的 两个根．
人教版高三数学一轮复习精品课件5：9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
有公共点，则圆 C 上的点到直线上的点的距离的最小值小于等于
ห้องสมุดไป่ตู้
1，则圆心
C(4,0)到直线
y＝kx－2
的距离小于等于
2，所以
|4k－2| k2＋1
≤2，解得 0≤k≤43，故 k 的最大值是43.
[答案]
(1)B
4 (2)3
[奇思妙想] 本例(1)改为：点 M(a，b)是圆 x2＋y2＝r2 内异于 圆心的一点，判断直线 ax＋by＝r2 与圆的位置关系，该如何作 答？
外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
(2)[2012·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程
为 x2＋y2－8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上至少存在一点，使得
以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是
答案：4
考向二 圆的切线问题 例 2 (1)[2013·广东高考]垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2
＝1 相切于第一象限的直线方程是( )
A. x＋y－ 2＝0
B. x＋y＋1＝0
C. x＋y－1＝0
D. x＋y＋ 2＝0
(2)[2012·天津高考]设 m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2 ＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 相切，则 m＋n 的取值范围是( )
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根 据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
第九章 平面解析几何
高考调研
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(2)本题的难点在于建立切线长与圆的半径、点 P 到 圆心的距离之间的关系，解决此类问题应画出草图，根据 平面几何中圆的有关性质进行求解．解法一体现了解析几 何的基本方法——坐标法，将问题转化为函数的最值求 解；解法二体现了平面几何中有关结论和定理的应用，更 为简捷．
第九章 平面解析几何
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思考题 2 (1)(2011·西城区)若直线 ax＋by＝1 与圆 x2 ＋y2＝1 相切，则实数 ab 的取值范围是______．
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【解析】
由题可知原点到直线距离为 1，有
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题型一 直线与圆的位置关系
例 1 m 为何值时，直线 2x－y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝5. (1)无公共点； (2)截得的弦长为 2； (3)交点处两条半径互相垂直．
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【思路】 (1)无公共点即相离，用点到直线的距离 d>r 判断；
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【解析】 由 x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，得(x＋2)2＋(y －1)2＝1，则圆心 C(－2,1)，半径 r＝1，当所求的切线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y ＋k＋2＝0，
则 d＝|k×－k22＋－－1＋1k2＋2|＝r＝1，解得 k＝0，则切 线 l 的方程为 y＝2，当切线 l 的斜率不存在时，切线 l 的 方程为 x＝－1.所以所求的切线 l 的方程为 y＝2 或 x＝－ 1.
高三数学一轮复习 第8章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 新人教版A
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考点突破 题型透析
考点一 直线与圆位置关系判定及应用
直线与圆的位置关系要注意直线的特殊性．如直线是否经过定点，斜率 k ＝0 或不存在；点是在圆上，还是圆外或圆内，注意利用方程思想时，方 程根的正负与范围等．
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二、圆与圆的位置关系
[自测 5] 若圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝m2 相外切，则 m＝ ________．
±( 17－2)
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考点突破 题型透析
考点一 直线与圆位置关系判定及应用
{突破点} 抓住圆心到直线的距离，数形结合进行转化 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达， 则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐， 则用代数法．
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一、直线与圆的位置关系
[自测 3] 直线 x－y＋2＝0 被圆 x2＋y2＋4x－4y－8＝0 截得的弦长等于 ________．
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二、圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系(两圆半径 r1、r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的 d＞r1＋r2 关系
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考点突破 题型透析
考点一 直线与圆位置关系判定及应用
1．对任意的实数 k，直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＝2 的位置关系一定是( )
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第九章
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(2)本题的难点在于建立切线长与圆的半径、点 P 到 圆心的距离之间的关系， 解决此类问题应画出草图， 根据 平面几何中圆的有关性质进行求解． 解法一体现了解析几 何的基本方法——坐标法，将问题转化为函数的最值求 解； 解法二体现了平面几何中有关结论和定理的应用， 更 为简捷．
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【解析】 由 x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，得(x＋2)2＋(y －1)2＝1，则圆心 C(－2,1)，半径 r＝1，当所求的切线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y ＋k＋2＝0， |k×－2－1＋k＋2| 则 d＝ ＝r＝1，解得 k＝0，则切 2 2 k ＋－1 线 l 的方程为 y＝2，当切线 l 的斜率不存在时，切线 l 的 方程为 x＝－1.所以所求的切线 l 的方程为 y＝2 或 x＝－ 1.
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故|PQ|2＝|PC|2－r2＝(2x2－2x＋13)－1＝2x2－2x＋12 1 2 23 1 ＝2(x－2) ＋ 2 ，所以当 x＝2时，|PQ|2 取得最小值，最小 23 值为 ，此时切线长为|PQ|＝ 2 23 46 ＝ . 2 2
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解法二：圆 C 的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心 为 C(－2，－2)，半径 r＝1. 设过点 P 的切线与圆相切于点 Q，则 CQ⊥PQ， 故|PQ|＝ |PC|2－r2＝ |PC|2－1， 故当|PC|取得最小值时，切线长最小． 显然，|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 |－2－2－1| 5 2 d＝ 2 2 ＝ 2 ，所以切线长的最小值为 1 ＋1 5 22 46 2 －1＝ 2 .
(2)若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x－2)2＋y2＝1 有公 共点，则直线 l 的斜率的取值范围为( A．[－ 3， 3] 3 3 C．[－ 3 ， 3 ]
【答案】 C
)
B．(－ 3， 3) 3 3 D．(－ 3 ， 3 )
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【解析】 设直线方程为 y＝k(x－4)，即 kx－y－4k ＝0，因为直线 l 与曲线(x－2)2＋y2＝1 有公共点， |2k－4k| 所以圆心到直线的距离小于等于半径 d＝ 2 k ＋1 3 3 ≤1，解得－ 3 ≤k≤ 3 .
答案 B
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解析 在圆外．
|a×0＋b×0－1| <1，∴a2 ＋b2>1，∴P(a，b) a2＋b2
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1 2．(2011· 上海春季高考)直线 l：y＝k(x＋ )与圆 C： 2 x2＋y2＝1 的位置关系为( A．相交或相切 C．相切
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探究 2 (1)过圆外一点的圆的切线方程一定有两条， 一定不要出现遗漏现象．特别是当求出的斜率只有一个， 结合图形知识，当斜率不存在时，不在题设的范围之内， 但其也满足条件，也是圆的一条切线．本题的第(2)问中 的直线通常称为圆的切点所在的直线， 求解其方程的基本 方法就是根据圆的切线的性质将其转化为求两个圆的公 共弦所在的直线方程．
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根据切线的性质，知 P、A、C、B 四点共圆，PC 的 3 3 1 2 32 32 中点 M(－2，2)，2|PC|＝ 2 ，故圆 M：(x＋2) ＋(y－2) 22 ＝( ) ， x2＋y2＋3x－3y＋4＝0， x2＋y2＋4x－2y＋4 即 与 2 ＝0 作差，得 x＋y＝0.即直线 AB 的方程为 x＋y＝0.
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【解析】 解法一： C 的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2 圆 ＝1，圆心为 C(－2，－2)，半径 r＝1. 设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则由 x＋y＝1，得 y＝1 －x. 则|PC|＝ x＋22＋y＋22 ＝ x＋22＋1－x＋22 ＝ 2x2－2x＋13， 设过点 P 的切线与圆相切于点 Q，则 CQ⊥PQ，
答案 17 1或 7
解析 由条件易知直线 l 的斜率必存在，设为 k，圆 |2k－3| 2 心(1,1)到直线 y＋2＝k(x＋1)的距离为 2 ＝ ，解得 k ＋1 2 17 17 k＝1 或 k＝ ，即所求直线 l 的斜率为 1 或 . 7 7
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答案
解析
B．2－ 2 D. 2＋1
C
|a＋1| 2 依题意( ) ＋( 3)2＝4.又 a>0，∴a＝ 2－1. 2
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4．(2011· 广东文)已知集合 A＝{(x，y)|x，y 为实数， 且 x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且 x＋y＝1}，则 A∩B 的元素个数为( A．4 C．2
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2 |m| 2 ∴d＝ r，即 ＝ · 5， 2 5 2 5 2 解得 m＝± 2 .
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5 2 故当 m＝± 时，直线与圆在两交点处的两条半径 2 互相垂直．
【答案】 5 2 ± 2 (1)m>5 或 m<－5 (2)m＝± 5 2 (3)m＝
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答案
解析 选 D.
) B．相交或相离 D．相交
D
1 直线 l 过点 P(－ ，0)，而点 P 在圆 C 内，故 2
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3．已知圆 C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线 l：x －y＋3＝0，当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3时，则 a 等 于( ) A. 2 C. 2－1
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2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第九章 平面解析几何
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直线与圆、圆与圆的位置关系
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1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置 关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
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2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构 成直角三角形计算．
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3．圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2(r1>0)， 1 ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r2>0)，则有： 2 |C1C2| > r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 相离； |C1C2| ＝r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 外切； |r1－r2| < |C1C2|<r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 相交； |C1C2|＝|r1－r2|⇔⊙C1 与⊙C2 内切(r1≠r2)； |C1C2| < |r1－r2|⇔⊙C1 与⊙C2 内含．
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4．过圆上一点的切线方程 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2(r>0)上，则以 P 为切点的切
2 线方程为 x0x＋y0y＝r .
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1．若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，则 P(a， b)与圆 x2＋y2＝1 的关系为( A．在圆上 C．在圆内 ) B．在圆外 D．以上都有可能
(2)充分利用直角三角形； (3)两半径互相垂直，形成等腰直角三角形．
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【解析】 (1)由已知，圆心为 O(0,0)，半径 r＝ 5， |m| |m| 圆心到直线 2x－y＋m＝0 的距离 d＝ 2 ＝ ， 5 2 ＋－12 |m| ∵直线与圆无公共点，∴d>r，即 > 5， 5 ∴m>5 或 m<－5. 故当 m>5 或 m<－5 时，直线与圆无公共点．
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探究 1
(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆
的位置关系， 也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到 的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法； (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率 k1·2 k ＝－1.
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思考题 1 (1)直线 y＝kx－2k 与圆 x2＋y2＝5 的位置 关系是________．
【答案】
【解析】
相交
直线 y＝kx－2k＝k(x－2)恒过定点(2,0)，
而(2,0)在圆 x2＋y2＝5 内部，∴直线与圆相交．
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