选修1-1第二章圆锥曲线

教学课题选修2-1第二章圆锥曲线
一、知识框架
1、1椭圆
1.定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2.标准方程及其几何性质
条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
图形
标准方程x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a＞b＞0)
范围|x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a
对称性曲线关于x轴、y轴、原点对
称
曲线关于x轴、y轴、原点对
称
顶点长轴顶点(±a,0) 短轴顶点
(0，±b)
长轴顶点(0，±a) 短轴顶点
(±b,0)
焦点(±c,0)(0，±c) 焦距|F1F2|＝2c(c2＝a2－b2)
离心率e＝c
a
∈(0,1)，其中c＝a2－b2
通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b2 a
1、2双曲线
1.定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.标准方程和几何性质
标准方程x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)
y2
a2
－
x2
b2
＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
对称轴：坐标轴对称中心：
原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±
b
a
x y＝±
a
b
x
离心率e＝
c
a
，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做
双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，
b叫做双曲线的虚半轴长
通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
2b2
a
a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1、3抛物线
1．抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)
图形
范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
对称轴 x 轴
顶点坐标 原点O (0,0)
焦点坐标 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，0 准线方程 x ＝－p 2
x ＝p 2
离心率
e ＝1
标准方程
x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0)
图形
范围 y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
对称轴 y 轴
顶点坐标 原点O (0,0)
焦点坐标
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，p 2
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－p 2
准线方程 y ＝－p 2
y ＝p 2
离心率
e ＝1
1、4直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或
x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．
若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
，且三者成等比数列，则
[解释] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2， 双曲线方程为x 2a 2－y 2
3a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.
∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1.
(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 2
12＝1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝
12
3－k 2，y 2＝12k 23－k 2，
∴|OP |2
＝x 2
＋y 2
＝12(k 2＋1)3－k
2. 则OQ 的方程为y ＝－1
k x ， 同理有|OQ |2
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1k 23－1k 2＝12(k 2＋1)3k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2
＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16.
思维升华
1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．与中点有关的问题常用点差法．
例3：过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.
[解析]：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.
将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 又⎩⎨⎧
y ＝22(x －1)，
y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
2，y ＝－2，
或⎩⎨⎧
x ＝2，
y ＝2 2.
由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，－2，
∴|BF |＝12－(－1)＝32. 答案：3
2
思维升华
涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到。