数值分析模拟试卷

取 x0 = 3 ，得 s ≈ x 4 = 3.146193221 。 4． Φ =span{1, x 2 } ， A =
T
1 192
T
1 252
1 302
1 ， T 19.0 32.3 49.0 73.3 . y = 382
解方程组 AT AC = AT y ，其中 A A = 解得： C =
10 ． 设 = f (-1) 1, = f (0) 0, = f (1) 1, = f (2) 5 ， 则 f ( x) 的 三 次 牛 顿 插 值 多 项 式 为 ，其误差估计式为 .
二、计算题（每题 10 分，共 60 分） 1．求一次数不超过 4 次的多项式 p ( x) 满足： p (1) = 15 ， p′(1) = 20 ， p′′(1) = 30
10.
1 3 1 x + x 2 − x, 6 6
f (4) (ξ )( x + 1) x( x − 1)( x − 2) / 24 ξ ∈ (−1, 2)
二、计算题 1．差商表： 1 1 1 2 2 15 15 15 57 57 20 20 42 72 15 22 30 7 8
1
p ( x) =15 + 20( x − 1) + 15( x − 1) 2 + 7( x − 1)3 + ( x − 1)3 ( x − 2) = 5 + 4 x + 3 x 2 + 2 x3 + x 4
*
２１０
模 拟 试 卷（二）
一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 则其有效位数分别有 1． 分别用 2.718281 和 2.718282 作数 e 的近似值， 位和 位 ；
1 0 −2 −1 3 ，则 A = ________， x 0 ，x = 2． 设 A = 1 1 1 3 − 8 2 1
模 拟 试 卷（一） 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
1．有 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.
1 5 −2 0 2．设 A = −2 1 ， x= 1 −4 2
3 −4 ，则 A 2
∞
=
.， x
1
=______.
h ( f n +1 + 4 f n + f n −1 ) . 3
证明 将 f ( x) = 0 写成 x= x − λ f ( x) ϕ ( x) ， 由于 ϕ ′( x) = |1 − λ f ′( x) |< 1 [ x − λ f ( x)]′ = 1 − λ f ′( x) ，所以 | ϕ ′( x) |= 所以迭代格式 xk + = xk − λ f ( xk ) 均收敛于 f ( x) = 0 的根 x . 1
1 2 , 则条件数 Cond ∞ ( A) _________. 0 1
6．为使两点的数值求积公式
∫
1
−1
f (= x)dx f ( x0 ) + f ( x1 ) 具有最高的代数精确度，则其求积
基点应为 x0 =__________， x1 =__________ 7．解初始值问题
二、计算题（每题 10 分，共 60 分） 1 证明方程 1 − x = sin x 在区间 [0, 1] 有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过
1 ×10−4 近似解，问要迭代多少次？ 2
2 已知常微分方程的初值问题：
dy x , 1 < x < 1.2 = , dx y y (1) = 2
阶方法；
3 5 x1 − 3 x2 − 0.1x3 = 2 的高斯—塞德尔迭代公式为 6．求解线性代数方程组 −2 x1 + 6 x2 + 0.7 x3 = x + 2 x + 3.5 x = 1 1 2 3
若取 x (0) = (1, −1,1) , 则 x
，

(1)
=
. .
3．对于方程组
3
2
=
.
2 x1 − 5 x 2 = 1 , Jacobi 迭代法的迭代矩阵是 GJ =________. 10 x1 − 4 x 2 = 3
4．设 f ( x) = x + x − 1 ，则差商 f [0, 1, 2, 3] =__________， f [ 0, 1, 2, 3, 4] =_______. 5．已知 A =
1 0 1 = 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 u 24 = 1 0 1 u 34 2 1 u 44 2
1 y1 5 0 1 y 3 2 = 解下三角方程组 1 2 1 y3 17 0 1 0 1 y 4 7
6 试用数值积分法建立求解初值问题
y ′ = f ( x, y ) 的如下数值求解公式 y (0) = y0
h yn +1 = yn −1 + ( f n +1 + 4 f n + f n −1 ) ， 3
其中 f i = f ( xi , yi ), 三、证明题（10 分） 设 对 任 意 的 x ， 函 数 f ( x) 的 导 数 f ′( x) 都 存 在 且 0 < m ≤ f ′( x) ≤ M , 对 于 满 足
y ′ = f ( x, y ) 近似解的梯形公式是 yk +1 ≈ y ( x0 ) = y0
8．求方程 f ( x) = 0 根的弦截法迭代公式是 9. 计算积分
∫
1
0.5
xdx ，取 4 位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是
， 用辛卜
Fra Baidu bibliotek
生公式计算的结果是 10．任一非奇异矩阵 A 的条件数 Cond ( A) ＝ ，其 Cond ( A) 一定大于等于
p (2) = 57 ， p′(2) = 72 .
２０７
2．构造代数精度最高的形式为 其代数精度.
∫
1 xf ( x)dx ≈ A0 f ( ) + A1 f (1) 的求积公式，并求出 0 2
1
3．用 Newton 法求方程 x − ln x = 2 在区间 (2, ∞) 内的根, 要求 4．用最小二乘法求形如 y= a + bx 2 的经验公式拟合以下数据：
.
( 4) 4．已知 n=4 时 Newton－Cotes 求积公式的系数分别是： C 0 = ( 4) ＝ C3
7 16 ( 4) 2 , C1( 4) = , C2 = , 则 90 45 15
.
5．解初始值问题
y ′ = f ( x, y ) 的改进的 Euler 方法是 y ( x0 ) = y0
i= n − 1, n, n + 1 .
0<λ <
2 的任意 λ ，迭代格式 xk + = xk − λ f ( xk ) 均收敛于 f ( x) = 0 的根 x* . 1 M
参考答案 一、填空题
1．5； 2. 8, 9 ; 3.
x1( k +1) ( k +1) (k ) 6. x2 = (2 + 2 x1( k +1) − 0.7 x3 )/6 , ( k +1) ( k +1) ( k +1) (1 − x1 − 2 x2 ) * 2 / 7 x3 =
3．此方程在区间 (2, ∞) 内只有一个根 s ，而且在区间（2，4）内。设 f ( x) = x − ln x − 2 则 f ' ( x) = 1 −
1 ， x
f '' ( x) =
1 ，Newton 法迭代公式为 x2
x k +1 = x k −
x k − ln x k − 2 x k (1 + ln x k ) ， k = 0,1,2, = xk − 1 1 − 1 / xk
7. xk + = xk − 1
91 16 ； 4. ； 5. 二； 15 45 (k ) (k ) = (3 + 3 x2 + 0.1x3 )/5
(0.02，0.22，0.1543)
xk − f ( xk ) ; 8. x j ; 9. ρ ( B ) < 1 ; 1 − f ′( xk )
２０８
有 y1 = 5 ， y 2 = 3 ， y 3 = 6 ， y 4 = 4 .
1 0 2 1 0 再解上三角方程组 2 得原方程组的解为 x1 = 1 ， x 2
6
0 x1 5 x 1 2 = 3 1 x3 6 2 x 4 4 = 1 ， x3 = 2 ， x 4 = 2 .
4 3330 ， 3330 3416082
1.41665 0.0504305 所以 a = 0.9255577 ， b = 0.0501025 .
5．解 设
２０９
1 0 1 0
0 1 2 1
2 0 4 0
0 1 l 1 1 = 21 3 l31 l32 3 l 41 l 42
1 l 43
1 0 u 22 1
2 u 23 u 33
0 u 24 u 34 u 44
由矩阵乘法可求出 u ij 和 lij
1 l 21 1 l31 l32 l 41 l 42 1 0 u 22
1 l 43 2 u 23 u 33
其他方法： 设 p ( x) = 15 + 20( x − 1) + 15( x − 1) 2 + 7( x − 1)3 + ( x − 1)3 (ax + b) 令 p (2) = 57 ， p′(2) = 72 ，求出 a 和 b. 2．取 f ( x) = 1, x ，令公式准确成立，得：
1 1 1 1 1 . , , A0 = , A A0 + A1 = A0 + A1 = 1 = 2 2 6 3 3 1 1 5 f ( x) = x 2 时，公式左右 = ； f ( x) = x3 时，公式左 = , 公式右 = 4 5 24 ∴ 公式的代数精度 = 2 .
x k − x k −1 xk
< 10 −8 .
xi yi
19 19.0
25 32.3
30 49.0
38 73.3
5．用矩阵的直接三角分解法解方程组
1 0 1 0
0 1 2 1
2 0 4 0
0 x1 5 1 x2 = 3 . 3 x3 17 3 x 4 7
试用改进的 Euler 方法计算 y (1.2) 的近似值，取步长 h = 0.2 .
２１１
3
3 3 5 x1 10 用矩阵的 LDLT 分解法解方程组 3 5 9 x2 = 16 . 5 9 17 x 30 3
3．已知 y=f(x)的均差（差商） f [ x0 , x1 , x2 ] =
f [ x0 , x2 , x3 ] =
8 , 那么均差 f [ x4 , x2 , x3 ] = 3
14 15 91 ， f [ x1 , x2 , x3 ] = ， f [ x2 , x3 , x4 ] = ， 3 15 3
解 初值问题等价于如下形式 = y ( x) y ( xn −1 ) +
∫
x
xn−1
f ( x, y ( x))dx ，
取 x = xn +1 ，有 y= ( xn +1 ) y ( xn −1 ) +
∫
xn+1
xn−1
f ( x, y ( x))dx ，
利用辛卜森求积公式可得 yn +1 ≈ yn −1 + 三、证明题
7．求方程 x = f ( x) 根的牛顿迭代格式是
8． 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是以整数点 x0 , x1 , , xn , 为节点的 Lagrange 插值基函数，则
∑x
k =0 k
n
j
( xk ) =
. .
( k +1) 9．解方程组 Ax = b 的简单迭代格式 x = Bx ( k ) + g 收敛的充要条件是