向量组线性相关与线性无关解析

向量组线性相关与线性无关的判别方法
摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的
线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.
关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩
1 引言
在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.
2 向量组线性相关和线性无关的定义
定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数
12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域
P 中没有不全为零的数12
,m k k k ，使
0332211=++++m m k k k k αααα ，
称它是线性无关.
3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法
由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.
命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.
关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.
命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α，
()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.
命题3 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关. 证明 设m ααα,,,21 线性相关，s m m m ++ααααα,,,,,,121 是包含m ααα,,,21 的一组向量，由于m ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12
,m k k k 使得
0332211=++++m m k k k k αααα 此时有
0001332211=+++++++++s m m m m k k k k αααααα ,
因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121 线性相关.证毕.
由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.
命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.
3.2.1 运用定义判定
由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.
例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,, ，证明，当m 为偶数时，
123,,,m ββββ线性相关.
证明 令1122330ββββ+++
=m m k k k k ，即
()()()0
1322211=++++++a a k a a k a a k m m ，
又即
()()()0
121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k ，
取
1,142131-========-m m k k k k k k ，
则有
0332211=++++m m k k k k ββββ .
由线性相关的定义知，m βββ,,,21 线性相关.
3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断
向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.
命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.
例2 设向量组()()()1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321--=-=-=ααα，判断321,,ααα的线性相关性.
解
()()
0,0,0,04,453,2,242321321321321332211=-+++---++=++k k k k k k k k k k k k k k k ααα得0321===k k k ，于是321,,ααα线性无关.
例3 设向量组m ααα,,,21 线性无关，且可由向量组m βββ,,,21 线性表示.证明：
m βββ,,,21 也线性无关，且与12,,,m ααα等价.
证明 如果m βββ,,,21 线性相关，假设r βββ,,,21 是它的一个极大无关组，如果
m r =,就说明了m βββ,,,21 就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下
面考虑m r <.又因为向量组m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示，则m ααα,,,21 也可由m βββ,,,21 线性表示,于是有r m ≤,矛盾！
由于m βββ,,,21 线性无关，则()m R m =βββ,,,21 ,又m ααα,,,21 可由
m βββ,,,21 线性表示,所以，
{}≅m βββ,,,21 {}m m βββααα,,,,,,,2121 等价，所以
()m R m m =βββααα,,,,,,,2121 .
于是m ααα,,,21 和m βββ,,,21 都是{}m m βββααα,,,,,,,2121 的极大无关组.所以
它们是等价的，证毕.
命题6 设m ααα,,,21 为n 维列向量,矩阵),,,(21m A ααα =. (i)当()m A R <时，向量组12,,m ααα线性相关; (ii)当()m A R =时，向量组12,,m ααα线性无关.
例4 判断向量组()
12,1,0,5
αT
=,()
27,5,4,1
αT
=-- ,()
33,7,4,11
αT
=--线性相关性.
解 利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯形矩阵
=A 2731-5-70445-1-11⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-1-54403727-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101101107-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000001107-5-1 由行阶梯形矩阵知()
23R
A =<,所以向量组321,,ααα是线性相关的.
上面是以321,,ααα为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用321,,ααα为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.
3.2.3 利用行列式的值判断
命题7 若()()()nn n n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,21222212112111 ===ααα,以
n ααα,,,21 作为列向量构成的矩阵),,,(21n A ααα =是一个方阵，
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n
n n a a a a a a a a a A 2122212
12111
(i)当0=A 时，向量组ααα12,,n 线性相关. (ii)当A 0≠时，向量组ααα12,,n 线性无关.
例 5 设()
αT
=11,1,1
,()
()ααT
T
==231,2,3
,1,3,t 问t 取何值时，向量组
321,,ααα线性相关.
解 向量组321,,ααα的个数和维数相等都为3，
=A 531321111-=t t
可见当5=t 时，0=A ，所以向量组321,,ααα线性相关.
3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断
对于()111211,,,n a a a αT
=,()212222,,
,n a a a αT
=,()12,,
,m m m nm a a a αT
=的线性
相关判断
命题8 若m ααα,,,21 为系数向量的齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，则向量组m ααα,,,21 线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组
m ααα,,,21 线性无关.
例6 已知()11,1,1α=,()21,2,3α= ,()
31,3,t α= (i)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？ (ii)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？
(iii)当向量组321,,ααα线性相关，将3α表示为1α和2α的线性组合. 解 设有实数321,,x x x 使0332211=++αααx x x 则可以得到方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
20320
321
321321tx x x x x x x x x 其系数行列式 =D t
313211
11
(i)当5≠t 时，0≠D ，方程组只有零解，即0321===x x x ，这时，向量组123
,,a a a 线性无关.
(ii)当5=t 时0=D 方程组有非零解，即存在不全为零的数，321,,x x x 使，
0332211=++αααx x x
此时321,,ααα线性相关，
(iii)当5=t 时，由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531321111→⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002101-01,
此时有
⎩⎨
⎧=-=-020
3231x x x x
令2,121==x x ，有ααα-+=12320,从而3α可由12,αα,表示ααα=-+3122.
在运用定义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用定义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法.区别是，适用的前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出的向量组；秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向量组的线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法.
以上是从向量组的分量是否具体给出两个大的方面介绍了向量组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向量组的分量是具体给出的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，定理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义，定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力.
3.2.5 用反证法
在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.
例7 设向量组m ααα,,,21 中任一向量i α不是它前面1-i 向量的线性组合，且
0≠i α证明向量组m ααα,,,21 线性无关.
证明 假设向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数m
k k k k ==== 321使得,
0332211=++++m m k k k k αααα , ○
1 不妨设0≠m k 由上式可得,
m
m m m m m k a k k a k k a k a 112
211------
= ,
即m α可以由它前面1-m 个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0=m k .
于是○1式转化为011332211=++++--m m k k k k αααα ，
类似于上面的证明可得0221====--k k k m m ,
○1式转化为01
1≠αk ,但01≠α，所以01≠k 这与m k k k === 21不全为零的假设相矛盾,所以向量组线性无关. 3.2.6运用相关结论判定
定理1 向量n ααα,,,21 )2(≥n 线性相关的充要条件是这n 个向量中的一个为其余
1-n 个向量的线性组合.
例8 判断向量组1α= (0,3,1,-1), 2α= (6,0,5,1), 3α= (4,-7,1,3)是否线性相关？
解 将321,,ααα以行排成矩阵
A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--317415061130→
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--000011302472 矩阵A 化为阶梯形矩阵后出现零行，则321,,ααα中必有一向量能被其余剩下的向量线表示，故由定理1知，向量组321,,ααα线性相关.
我们注意到，例9中的矩阵A 在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定n ααα,,,21 中必有一个向量能被其余剩下的1-n 个向量线性表示，从而向量组线性相关.
定理2 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.
例9 判断向量组：
=1α ()
1,2,4,0,1T
, =2α()
0,1,8,1,2T
, =3α ()
0,2,3,0,5T
的线性相关性.
解 取=1β()
1,0,0T
，=2β()
0,1,1T
，=3β()
0,2,0
T
，因为由321,,βββ为列向量
的行列式不为零，所以向量组321,,βββ线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所得向量组321,,ααα是线性无关的.
定理3 任意1+n 个n 维向量必线性相关.
定理 4 如果向量组123,,,m αααα可由向量组s βββ,,,21 线性表示，若s m >,则
123,,,m αααα线性相关.
证明 设02211=+++n n x x x ααα ，由已知可知
()m i k
k k k j s
j ji
s si i i i 11
2211==
+++=∑=ββββα
带入上式可得
j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji m
i i i m
i i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫
⎝⎛==⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111
111
要证明123,,,m a a a a 线性相关，只需证明存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得
02211=+++n n x x x ααα 成立，即只要存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得
j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji m
i i i m
i i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫
⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111
中的每一个j β前的系数均为零即可.
要使每个j β前面的系数为零，则可得到,
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++0
00
2
21122221211212111m sm s s m m m m x k x k x k x k x k x k x k x k x k 因为s m >即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解,所以
123,,,m a a a a 线性相关.
定理 5 如果向量组r βββ,,,21 可以由123,,,r αααα线性表示为且123,,,r
αααα是线性无关的，设r j a r
j j
ij i ,,2,1,1
==
∑=α
β
rr
r r r r a a a a a a a a a A 21
2222111211
=
，
若0≠A 则r βββ,,,21 线性无关.
证明 设02211=+++r r k k k βββ ,
将()r i a a a a r ir i i r
j j
ij i 2,122111
=+++==
∑=αααα
β代入上式，得
()()()0
22112222211211221111=++++++++++++r r rr r r r r r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a ααα 由123,,,
r αααα线性无关,得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
00221122221121221111r rr r r r
r r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a
则r βββ,,,21 线性无关,所以系数全为零，即方程组只有零解，
021
2222111211212221212111≠=
rr
r r r r
rr
r r
r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a
得证！
例10 设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组123,,,r αααα线
性无关，求向量组r βββ,,,21 的线性相关性.
解 因为r βββ,,,21 由123,,,r αααα线性表示，由定理5可得,
011
001
101
1≠== A
因为123,,,
r αααα线性无关，且0≠A 所以r βββ,,,21 线性无关.
结束语
本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判定方法，总介绍定义入手，介绍了它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结了一些方法，例如；利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.
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Identification Method of Linear Dependence and Linear Independence
Abstract The vector group’s Linear dependence and linear independence are most abstract concepts in linear algebra. How to determine Linear dependence and linear independence is the key factor to understand vector correctly. This paper introduces the relationship between determinant, matrix, the solution of linear equations and it, also concludes the methods to determine the vector's linear dependence and linear independent.
Keywords Vector group Linear dependence Linear independence Matrix Rank。