电力系统状态估计算法
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14/67
快速分解状态估计
从基本加权最小二乘法发展而来
先看基本加权最小二乘法的计算方程
x
(k )
H R H H T R 1z ( k )
T 1 1
形式上的改写
H T R1 H x ( k ) H T R1z ( k )
分解
将状态量x分为电压幅值和相角
量测量z分为有功和无功两类
15/67
分解方案
za ha (θ , v ) υa 量测方程 z υ zr hr (θ , v ) r
有功量测： 支路有功量测 节点注入有功量测
有功量测部分 无功量测部分
优点：是计算速度 快而又节省内存 缺点：难以处理节 点注入型量测量， 但这并不妨碍其实 用性。
读入量测数据SM
k=1 进行量测变换： SM－>△VM k＝k+1 计算新的电压值Vu 否
13/67
WLS流程图
加权最小二乘法具有良 好的收敛性，但它的缺 点是计算时间长和所需 内存大。
采用PQ分解法求解潮 x 流的思想，将有功和无 功解耦以及雅克比矩阵 常数化的方法用在加权 最小二乘法中，形成了 快速分解状态估计算法。
(l+1)
输入遥测数据z
赋初值x0
l＝0 由x(l)计算H(x(l))和h(x(l)) l＝l+1 =x(l)+△x(l) 计算信息矩阵HTR-1H 计算自由矢量HTR-1[z-h(x)] 解线性方程，求△x(l) 否 是否满足收敛条件？ 是
潮流计算方程的个数等于状态变量的个数
状态估计中，方程的个数由量测量的个数决定
6/67
加权最小二乘法的数学模型
量测方程
目标函数 必要条件：
z h( x) ν
min J ( x ) z h( x ) R1 z h( x )
T
非线性方程求极值
J ( x ) 0 T x
1
迭代公式
10/67
收敛条件
ˆ z ( k ) z h( x ( k ) )
迭代形式简记为
ˆ x
(k )
H R H H T R 1z ( k )
T 1 1
ˆ ˆ ˆ x ( k 1) x ( k ) x ( k )
Baidu Nhomakorabea
收敛条件
ˆ xi ( l )
4/67
三种常用的最小二乘类算法
基本加权最小二乘法（牛顿法）
快速分解法 变化量测量
5/67
状态估计与潮流相比
节点划分？
潮流计算分为三类节点
而状态估计是没有节点类型的概念的
一个n节点的网络，状态变量有多少个？ 状态变量有2n-1个
因为必须指定一个节点的相角为0
方程的个数？
x
ˆ z ( k ) z h( x ( k ) ) ˆ x ˆ ˆ ˆ H ( x ) R H ( x ) H T ( x ( k ) ) R 1 z ( k ) ˆ ˆ ˆ x ( k 1) x ( k ) x ( k )
(k ) T (k ) 1 (k) 1
1
迭代公式
9/67
牛顿法求解
f ( x ) H T ( x ) R 1 z h( x ) 0 z h( x ) f ( x ) T 1 H ( x) R H T ( x ) R 1 H ( x ) x T x T
带入计算公式 x f ( x ) f ( x0 ) T
xT
根据数学知识： J ( x) 2 H T ( x) R1 z h( x) 0 简化：
H T ( x ) R1 z h( x ) 0
7/67
如何求解？
ˆ f ( x) H T ( x ) R1 z h( x) 0 牛顿法
f ( x ) f ( x0 ) x 0 T x
x
ˆ z ( k ) z h( x ( k ) ) ˆ x ˆ ˆ ˆ H ( x ) R H ( x ) H T ( x ( k ) ) R 1 z ( k ) ˆ ˆ ˆ x ( k 1) x ( k ) x ( k )
(k ) T (k ) 1 (k) 1
电力系统状态估计算法
Models and Approaches of Power System State Estimation
华北电力大学电气学院 主讲人：陈艳波
1/67
电力系统状态估计算法
概述 基本加权最小二乘法 快速分解状态估计 变换量测量 比较 示例
2/67
概述
在给定网络结构、支路参数和量测系统的条件下，根 据量测值求最优状态估计值的计算方法称为状态估计 算法。
电力系统状态估计算法可以分为两大类型： 一种是卡尔曼型逐次算法
一种是高斯型最小二乘法的总体算法
3/67
逐次型状态估计
由于逐次型状态估计算法使用内存最少，对节点注入 型量测具有一定的适应能力，程序简单，在一段时间 内由邦那维尔电力系统提出后得到了一定的应用。
但是这种算法的缺点是收敛速度慢，计算时间长，估 计质量差，随着电力系统规模增大和节点注入型量测 量的增多而变得更加严重，这些缺点限制了它的推广 应用。 目前在电力系统中，基本上应用的都是最小二乘法的 总体算法一类。
f ( x ) x xT
1
f ( x0 )
应用
f ( x ) T x
H T ( x ) R 1 z h( x ) x T
z h( x ) H T ( x ) 1 T 1 R z h( x ) H ( x ) R T x x T
max i
x
ˆ ˆ J ( x ( l ) ) J ( x ( l 1) ) J ˆ x ( l )
三个收敛条件 任选其一即可
11/67
几个有意义的矩阵
量测雅克比矩阵 信息矩阵(Gain Matrix) 状态估计误差方差阵
T ˆ ˆ E x x x x H T R 1H 1
1
12/67
冗余度与估计精度
误差方差阵[HTR-1H]-1中对角元素表示量测系统可能 达到的估计效果，是评价量测系统配置质量的重要 指标。
信息矩阵HTR-1H ，其对角元素随量测量增多而增大， 而[HTR-1H]-1的对角元素则随之降低。
量测估计误差方差阵H[HTR-1H]-1 HT的对角元素表示 量测量估计误差的方差的大小，在一般的量测系统 中有diag{H[HTR-1H]-1 HT}<R，表明状态估计可以提高 量测数据的精度。
变换量测量
由美国电力公司提出的，也称为“唯支路”量测状 态估计算法。
本算法将支路潮流量测量变换为对支路两端电压差 的“量测”，并假设运行电压变化不大，最后得到 与基本加权最小二乘法状态估计相类似的迭代修正 公式，但其信息矩阵是常实数、对称、实虚部统一 的稀疏矩阵。
24/67
变量量测法流程图
B v0 BrT Rr1 v0 Br
b ( l ) v0 BrT Rr1zr( l )
20/67
快速分解状态估计
迭代形式
( ˆ ˆ zal ) za h(θ ( l ) , v ( l ) ) 2 T 2 ˆ θ ( l ) v0 Ba Ra 1 v0 Ba ˆ ˆ ˆ θ ( l 1) θ ( l ) θ ( l ) 1
h( x) H x
ˆ x x( k )
HT R1H
量测估计误差
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z z z h( x) H ( x)x H ( x)( x x)
量测估计误差方差阵
z z z z T H H T R 1 H H T ˆ ˆ E
分解的结果
H T R 1 H x (l ) H T R 1z (l ) ˆ
分解后有
H aa H 0
T H aa Ra 1H aa 0
( ( 0 xal ) zal ) Ra (l ) (l ) , x (l ) , z (l ) , R H rr xr zr
v02 BaT Ra1 za(l )
ˆ ˆ zr( l ) zr h(θ ( l 1) , v ( l ) ) ˆ v
(l )
v0 B
T r
R v B v B
1 r 1 0 r 0
T r
Rr1 zr( l )
ˆ ˆ ˆ v ( l 1) v ( l ) v ( l )
18/67
快速的物理基础
对于高压电力网
认为各支路两端的相角差很小
各节点电压幅值接近于参考节点电压
与PQ分解法潮流计算作类型的假设，即 sinij 0 cosij 1 vi v j v0
那么，雅克比矩阵可以常数化
19/67
快速+分解
迭代形式 分解
分解+快速
无功量测：
支路无功量测
节点注入无功量测
节点电压幅值量测
16/67
分解的物理基础
对高压电力网
有功和相角的关系密切而受电压的影响相对较小
无功与电压幅值的关系密切而受相角的影响较小
与PQ分解法潮流计算作类型的假设，即
ha hr 0 0 T T v θ
17/67
21/67
FDSE流程图
输入遥测数据z
赋初值x0 由(1.73)计算A、B， 并进行因子分解
KP=KQ=1, l＝0
θ ( l 计算a；求解△θ)
P-θ迭代
否
i( l )
max
?
是
KP=1 θ(l+1)=θ(l)+△θ(l) 否
KP=0 是
KQ=0?
l＝l+1
计算b；求解△v( l ) v 否 是
Q-V迭代
vi( l )
max
v ?
KQ=1 v(l+1)=v(l)+△v(l) 否
KQ=0 是
KP=0?
22/67
WLS与FDSE的区别
算法 求解方式 方程维数 系数矩阵 WLS 同时求解 和 θ v n=na+nr 变化的 FDSE 分别求解 和 θ v na和nr 常数
23/67
8/67
牛顿法求解
f ( x ) H T ( x ) R 1 z h( x ) 0 z h( x ) f ( x ) T 1 H ( x) R H T ( x ) R 1 H ( x ) x T x T
带入计算公式 x f ( x ) f ( x0 ) T
2 T 2 2 T ( A v0 Ba Ra 1 v0 Ba a ( l ) v0 Ba Ra 1zal )
Aθ (l ) a (l ) Bv (l ) b(l )
T A H aa Ra 1H aa T B H rr Rr1H rr T ( a (l ) H aa Ra 1zal ) T b(l ) H rr Rr1zr( l )
Rr
( T xal ) H aa Ra 1 (l ) T 1 H rr Rr H rr xr 0
0
( zal ) T H rr Rr1 zr( l )
0
T ( T ( H aa Ra 1 H aa xal ) H aa Ra 1zal ) T T H rr Rr1 H rr xr( l ) H rr Rr1zr( l )
快速分解状态估计
从基本加权最小二乘法发展而来
先看基本加权最小二乘法的计算方程
x
(k )
H R H H T R 1z ( k )
T 1 1
形式上的改写
H T R1 H x ( k ) H T R1z ( k )
分解
将状态量x分为电压幅值和相角
量测量z分为有功和无功两类
15/67
分解方案
za ha (θ , v ) υa 量测方程 z υ zr hr (θ , v ) r
有功量测： 支路有功量测 节点注入有功量测
有功量测部分 无功量测部分
优点：是计算速度 快而又节省内存 缺点：难以处理节 点注入型量测量， 但这并不妨碍其实 用性。
读入量测数据SM
k=1 进行量测变换： SM－>△VM k＝k+1 计算新的电压值Vu 否
13/67
WLS流程图
加权最小二乘法具有良 好的收敛性，但它的缺 点是计算时间长和所需 内存大。
采用PQ分解法求解潮 x 流的思想，将有功和无 功解耦以及雅克比矩阵 常数化的方法用在加权 最小二乘法中，形成了 快速分解状态估计算法。
(l+1)
输入遥测数据z
赋初值x0
l＝0 由x(l)计算H(x(l))和h(x(l)) l＝l+1 =x(l)+△x(l) 计算信息矩阵HTR-1H 计算自由矢量HTR-1[z-h(x)] 解线性方程，求△x(l) 否 是否满足收敛条件？ 是
潮流计算方程的个数等于状态变量的个数
状态估计中，方程的个数由量测量的个数决定
6/67
加权最小二乘法的数学模型
量测方程
目标函数 必要条件：
z h( x) ν
min J ( x ) z h( x ) R1 z h( x )
T
非线性方程求极值
J ( x ) 0 T x
1
迭代公式
10/67
收敛条件
ˆ z ( k ) z h( x ( k ) )
迭代形式简记为
ˆ x
(k )
H R H H T R 1z ( k )
T 1 1
ˆ ˆ ˆ x ( k 1) x ( k ) x ( k )
Baidu Nhomakorabea
收敛条件
ˆ xi ( l )
4/67
三种常用的最小二乘类算法
基本加权最小二乘法（牛顿法）
快速分解法 变化量测量
5/67
状态估计与潮流相比
节点划分？
潮流计算分为三类节点
而状态估计是没有节点类型的概念的
一个n节点的网络，状态变量有多少个？ 状态变量有2n-1个
因为必须指定一个节点的相角为0
方程的个数？
x
ˆ z ( k ) z h( x ( k ) ) ˆ x ˆ ˆ ˆ H ( x ) R H ( x ) H T ( x ( k ) ) R 1 z ( k ) ˆ ˆ ˆ x ( k 1) x ( k ) x ( k )
(k ) T (k ) 1 (k) 1
1
迭代公式
9/67
牛顿法求解
f ( x ) H T ( x ) R 1 z h( x ) 0 z h( x ) f ( x ) T 1 H ( x) R H T ( x ) R 1 H ( x ) x T x T
带入计算公式 x f ( x ) f ( x0 ) T
xT
根据数学知识： J ( x) 2 H T ( x) R1 z h( x) 0 简化：
H T ( x ) R1 z h( x ) 0
7/67
如何求解？
ˆ f ( x) H T ( x ) R1 z h( x) 0 牛顿法
f ( x ) f ( x0 ) x 0 T x
x
ˆ z ( k ) z h( x ( k ) ) ˆ x ˆ ˆ ˆ H ( x ) R H ( x ) H T ( x ( k ) ) R 1 z ( k ) ˆ ˆ ˆ x ( k 1) x ( k ) x ( k )
(k ) T (k ) 1 (k) 1
电力系统状态估计算法
Models and Approaches of Power System State Estimation
华北电力大学电气学院 主讲人：陈艳波
1/67
电力系统状态估计算法
概述 基本加权最小二乘法 快速分解状态估计 变换量测量 比较 示例
2/67
概述
在给定网络结构、支路参数和量测系统的条件下，根 据量测值求最优状态估计值的计算方法称为状态估计 算法。
电力系统状态估计算法可以分为两大类型： 一种是卡尔曼型逐次算法
一种是高斯型最小二乘法的总体算法
3/67
逐次型状态估计
由于逐次型状态估计算法使用内存最少，对节点注入 型量测具有一定的适应能力，程序简单，在一段时间 内由邦那维尔电力系统提出后得到了一定的应用。
但是这种算法的缺点是收敛速度慢，计算时间长，估 计质量差，随着电力系统规模增大和节点注入型量测 量的增多而变得更加严重，这些缺点限制了它的推广 应用。 目前在电力系统中，基本上应用的都是最小二乘法的 总体算法一类。
f ( x ) x xT
1
f ( x0 )
应用
f ( x ) T x
H T ( x ) R 1 z h( x ) x T
z h( x ) H T ( x ) 1 T 1 R z h( x ) H ( x ) R T x x T
max i
x
ˆ ˆ J ( x ( l ) ) J ( x ( l 1) ) J ˆ x ( l )
三个收敛条件 任选其一即可
11/67
几个有意义的矩阵
量测雅克比矩阵 信息矩阵(Gain Matrix) 状态估计误差方差阵
T ˆ ˆ E x x x x H T R 1H 1
1
12/67
冗余度与估计精度
误差方差阵[HTR-1H]-1中对角元素表示量测系统可能 达到的估计效果，是评价量测系统配置质量的重要 指标。
信息矩阵HTR-1H ，其对角元素随量测量增多而增大， 而[HTR-1H]-1的对角元素则随之降低。
量测估计误差方差阵H[HTR-1H]-1 HT的对角元素表示 量测量估计误差的方差的大小，在一般的量测系统 中有diag{H[HTR-1H]-1 HT}<R，表明状态估计可以提高 量测数据的精度。
变换量测量
由美国电力公司提出的，也称为“唯支路”量测状 态估计算法。
本算法将支路潮流量测量变换为对支路两端电压差 的“量测”，并假设运行电压变化不大，最后得到 与基本加权最小二乘法状态估计相类似的迭代修正 公式，但其信息矩阵是常实数、对称、实虚部统一 的稀疏矩阵。
24/67
变量量测法流程图
B v0 BrT Rr1 v0 Br
b ( l ) v0 BrT Rr1zr( l )
20/67
快速分解状态估计
迭代形式
( ˆ ˆ zal ) za h(θ ( l ) , v ( l ) ) 2 T 2 ˆ θ ( l ) v0 Ba Ra 1 v0 Ba ˆ ˆ ˆ θ ( l 1) θ ( l ) θ ( l ) 1
h( x) H x
ˆ x x( k )
HT R1H
量测估计误差
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z z z h( x) H ( x)x H ( x)( x x)
量测估计误差方差阵
z z z z T H H T R 1 H H T ˆ ˆ E
分解的结果
H T R 1 H x (l ) H T R 1z (l ) ˆ
分解后有
H aa H 0
T H aa Ra 1H aa 0
( ( 0 xal ) zal ) Ra (l ) (l ) , x (l ) , z (l ) , R H rr xr zr
v02 BaT Ra1 za(l )
ˆ ˆ zr( l ) zr h(θ ( l 1) , v ( l ) ) ˆ v
(l )
v0 B
T r
R v B v B
1 r 1 0 r 0
T r
Rr1 zr( l )
ˆ ˆ ˆ v ( l 1) v ( l ) v ( l )
18/67
快速的物理基础
对于高压电力网
认为各支路两端的相角差很小
各节点电压幅值接近于参考节点电压
与PQ分解法潮流计算作类型的假设，即 sinij 0 cosij 1 vi v j v0
那么，雅克比矩阵可以常数化
19/67
快速+分解
迭代形式 分解
分解+快速
无功量测：
支路无功量测
节点注入无功量测
节点电压幅值量测
16/67
分解的物理基础
对高压电力网
有功和相角的关系密切而受电压的影响相对较小
无功与电压幅值的关系密切而受相角的影响较小
与PQ分解法潮流计算作类型的假设，即
ha hr 0 0 T T v θ
17/67
21/67
FDSE流程图
输入遥测数据z
赋初值x0 由(1.73)计算A、B， 并进行因子分解
KP=KQ=1, l＝0
θ ( l 计算a；求解△θ)
P-θ迭代
否
i( l )
max
?
是
KP=1 θ(l+1)=θ(l)+△θ(l) 否
KP=0 是
KQ=0?
l＝l+1
计算b；求解△v( l ) v 否 是
Q-V迭代
vi( l )
max
v ?
KQ=1 v(l+1)=v(l)+△v(l) 否
KQ=0 是
KP=0?
22/67
WLS与FDSE的区别
算法 求解方式 方程维数 系数矩阵 WLS 同时求解 和 θ v n=na+nr 变化的 FDSE 分别求解 和 θ v na和nr 常数
23/67
8/67
牛顿法求解
f ( x ) H T ( x ) R 1 z h( x ) 0 z h( x ) f ( x ) T 1 H ( x) R H T ( x ) R 1 H ( x ) x T x T
带入计算公式 x f ( x ) f ( x0 ) T
2 T 2 2 T ( A v0 Ba Ra 1 v0 Ba a ( l ) v0 Ba Ra 1zal )
Aθ (l ) a (l ) Bv (l ) b(l )
T A H aa Ra 1H aa T B H rr Rr1H rr T ( a (l ) H aa Ra 1zal ) T b(l ) H rr Rr1zr( l )
Rr
( T xal ) H aa Ra 1 (l ) T 1 H rr Rr H rr xr 0
0
( zal ) T H rr Rr1 zr( l )
0
T ( T ( H aa Ra 1 H aa xal ) H aa Ra 1zal ) T T H rr Rr1 H rr xr( l ) H rr Rr1zr( l )