自适应均衡器的LMS算法实现及其仿真

第27卷　第5期　吉首大学学报(自然科学版)V ol.27　N o.5 2006年9月Journal of Jishou University(Natural Science Edition)Sept.2006

文章编号:1007-2985(2006)05-0073-03

自适应均衡器的LMS算法实现及其仿真

Ξ

张雅彬,王融丽,刘　昕

(吉首大学物理科学与信息工程学院,湖南吉首　416000)

摘　要:自适应均衡器已广泛应用于通信、雷达、声纳、控制和生物医学工程等许多领域,为克服多径衰落和信道失真引起的码间干扰,实时跟踪移动通信信道的时变特性,笔者设计了一个基于LMS算法的自适应线性均衡器,并通过改变步长因子Δ来分析其收敛速度和均方误差特性.

关键词:自适应均衡器;LMS算法;仿真

中图分类号:T N911.5 文献标识码:A

在高速数字通信中,多径衰落和信道失真可引起严重的码间干扰,已成为数字通信面临的主要困难之一.克服ISI的一种有效途径是在接收机中采用均衡技术.由于移动衰落信道具有随机性和时变性,这就要求均衡器必须能够实时地跟踪移动通信信道的时变特性,这种自适应均衡器常见的工作模式为训练模式和跟踪模式.对于线性均衡器,其算法有很多种,最常见是基于LMS的算法的自适应均衡器.笔者设计了一个基于LMS算法的自适应均衡器,通过改变步长因子分析其收敛速度及均方误差.[1]

1　自适应均衡器LMS算法实现

自适应滤波器的研究始于20世纪50年代末,Windrow和H off等在20世纪60年代初提出最小均方误差自适应算法[2] (Least Mean Squares,LMS).LMS算法的基本原理[2-3]是基于误差梯度的最陡下降法,用平方误差代替均方误差,沿着权值的负方向搜索达到均方误差最小意义下的自适应滤波.LMS算法因其结构简单、稳定性好而且易于实现,一直是自适应滤波经典、有效的算法之一.但是这种固定步长的LMS自适应算法在收敛速率、跟踪速率及权失调噪声之间的要求是相互矛盾的,为了克服这一矛盾,人们讨论了各种各样的变步长LMS自适应滤波的改进算法.[4]

更新方向向量υ(n)取作第n-1次迭代的E{e2(n)}的负梯度,即最陡下降法,根据这种思想产生的算法称为最小均方算法(LMS).LMS算法的依据是最小均方误差,即理想信号d(n)与滤波器实际输出y(n)之差e(n)的平方值的期望值E{e2(n)}最小,并且根据这个依据来修改权系数w i(n).为了使期望值E{e2(n)}最小,采用最广泛使用的自适应算法形

式“下降算法”:W

i (n)=W

i

(n-1)+μ(n)υ(n).式中的W i(n)为第n步迭代的权向量,μ(n)为第n次迭代的收敛因子,

而υ(n)是第n次迭代的更新方向.最常用的下降算法为梯度下降法,常称最陡下降法.

令N阶FIR滤波器的抽头系数为W

i

(n),滤波器的输入和输出分别为x(n)和y(n),则FIR横向滤波器方程可表示为

y(n)=6N i=-1W i(n)X(n-i),(1)令d(n)代表“所期望的响应”,并定义误差信号

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-6N i=-1W i(n)X(n-i),(2)采用向量形式表示权系数及输入W和x(n),可以将误差信号e(n)写作

e(n)=d(n)-W T X(n)=d(n)-X(n)W,(3)则误差平方为

e2(n)=d2(n)-2d(n)X T(n)W+W T X(n)X T(n)W.(4)

Ξ收稿日期:2006-04-16

基金项目:湖南省教育厅科学研究项目(04C492)

作者简介:张雅彬(1979-),男,山东菏泽人,吉首大学物理科学与信息工程学院教师,主要从事无线通信教学与研究.

上式两边取数学期望后,得均方误差E {e 2(n )}=E {d 2(n )}-2E {d (n )X T (n )}W +W T E {X (n )X 2(n )}W .(5)

定义互相关函数向量R xd T =E {d (n )X T (n )},(6)

自相关函数矩阵R xx =E {X (n )x T (n )},(7)

则(5)式可表示为E {e 2(n )}=E {d 2(n )}-2R T xd W +W T R xx W .

(8)这表明均方误差是权系数向量W 的二次函数,它是一个凹的抛物型曲面,具有唯一最小值的函数.调节权系数使均方误差为最小.将(8)式对权系数W 求导数,得到均方值误差函数的梯度

(n )= E {e 2(n )}=[9E {e 2(n )}/9W 1,…,9E {e 2(n )}/9W n ]T .

(9)令 (n )=0,即可求出最佳权系数向量

W opt =R -1xx R xd .(10)

将W opt 代入(8)式得最小均方差值E {e 2(n )}min =E {d 2(n )}-R T xd W opt .

(11)利用(11)式求最佳权系数向量的精确解需要知道R xx 和R xd 的先验统计知识,而且还需要进行矩阵求逆等运算.Widrow 和H off 提出了求解W opt 的近似值的方法,习惯上称之为Widrow 2H off LMS 算法.正如前面所介绍的,这种算法的根据是最优化理论方法中的最速下降法.根据最速下降法.“下一时刻”权系数向量W (n +1)应该等于“现时刻”权系数向量W (n )加上一个负均方误差梯度- (n )的比例项,即

W (n +1)=W (n )-μ (n ),(12)

其中μ是一个控制收敛速度与稳定性的常数,称之为收敛因子,LMS 算法与梯度 (n )和收敛因子μ有关.

精确计算梯度 (n )是十分困难的,一种粗略的但是却十分有效的计算 (n )的近似方法是直接取e 2(n )作为均方误差E {e 2(n )}的估计值,即

(n )= [e 2(n )]=2e (n ) [e (n )].

(13)其中

[e (n )]= [d (n )-W T (n )X (n )]=-X (n ).

(14)将(14)式代入(13)式中,得到梯度估值

(n )=-2e (n )X (n ),

(15)于是Widrow 2H off LMS 算法为

W (n +1)=W (n )+2μe (n )X (n ).(16)

在LMS 算法中,由于采用最陡下降法的思想来更新权系数向量W (n ),所以LMS 算法中的收敛因子μ决定抽头权向量在每次迭代中的更新量,是影响算法收敛速率和稳态性能的关键参数.收敛因子μ的选择一直是研究的热点,基于LMS 算法的收敛分为均值收敛和均方收敛2种[3],对于收敛因子μ的选择(现在常被称为学习速率参数选择[2])已经有几种著名的选择方法,如时变学习速率的“模拟退火法则”,“换档变速方法(gear 2shifting approach )”等[5].

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　计算机仿真

图1　传输信息模型 图2　仿真误差分析

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