三角形与多边形及镶嵌汇总

三角形与多边形及镶嵌

一、知识结构框图：

二、知识要点：

1．三角形的分类：

2．三角形的三种重要线段：

三角形的高线、中线、角平分线。

3．三角形的三边之间的关系：

（1）三角形任意两边的和大于第三边；

（2）三角形任意两边的差小于第三边．

4．三角形的内、外角性质：

（1）三角形的内角和等于180°；

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；

（4）三角形的外角和等于360°．

5．作图．

6．三角形的稳定性．

三、典型例题：

1．如图，图中共有多少个三角形?

分析：根据三角形的概念，不重复、无遗漏地找出所有的三角形，关键在于按照某种顺序去找。

解：共8个，分别为：△BCE，△CDE，△BFE；△BCF，△BCD，△ACF,△ADB；△BCA

2．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm 的两部分，求三角形各边的长。

分析：因为中线BD中的点D为AC边的中点，所以AD=DC，造成所分的两部分不等的原因就在于BC边与AB边的不等，故应分类讨论。

解：如图，设，则

（1）若AB+AD=12，

即，得x=8

即AB=AC=8

则DC=4，故BC=15-4=11

此时AB+AC>BC，可构成三角形

（2）若AB+AD=15，，∴x=10

即AB=AC=10，则DC=5，故BC=12-5=7

显然此时可构成三角形

综上，三边长为：8，8，11或10，10，7.

3．（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围；

（2）已知三角形的三边分别为14，4x和3x，求x的取值范围；

（3）已知三角形的三边分别为，和，求的取值范围。

分析：根据三角形的三边关系，可得第三边的取值范围是：两边之差＜第三边＜两边之和，所以较容易确定第三边的取值范围

解：（1）（6-5）cm < c <（6+5）cm

∴1cm

设周长为pcm

又因另两边分别为5cm和6cm

∴[（5+6）+1]cm < p <[ 11+（5+6）]cm

即12cm < p < 22cm

（2）根据三角形的三边关系：

∴

（3）∵

又∵三角形的三边长为正

∴

又∵

∴

4．如图，在小河的同侧有A，B，C三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。

分析：邮递员走经过C村而不走经过D村的路，其理由很明显：因为路程更近。

若将该问题抽象成数学问题即为：

已知：C是△ABD内一点，试证明：AD+BD>AC+BC。

点拨：解决几条线段间的不等关系，应利用三角三边关系性质，为此，连接AB，得BD+DA>AB，CA+CB>AB，但仍无法得出结论，故可考虑构造另外的三角形，找到所证线

段之间的相互关系。

解答：延长AC交BD于点E，由三角形的三边关系：

在△ADE中，AD+DE>AC+CE ①

在△CBE中，CE+BE>BC ②

由①和②得：AD+DE+BE+CE>AC+BC+CE

所以：AD+BD>AC+BC

四、多边形及其平面镶嵌：

1．多边形及其内角和：

（1）n边形的内角和：

（2）多边形的外角和等于360°．

（3）多边形的对角线：

①从n边形的一个顶点作对角线有：（n-3）条；

②n边形共有：条对角线。

（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

2．正多边形的概念：

正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，只有三角形例外，满足其一即可．

说明：（1）只满足“各边相等”的反例：菱形；

（2）只满足“各角相等”的反例：矩形．

3．多边形的内外角和的推导思路：

（1）通过对多边形内角和公式的探究和推导，充分体会三角形在研究多边形问题的过程中所发挥的重

要作用，在探究的过程中应与同学们充分讨论，发现不同的证法．

说明：可以将各种证法统一起来，即点O在不同的位置．

（2）利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，体会变与不变的关系．

五、例题选讲：

5．一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的对角线的条数是（）（A）5 （B）4（C）3 （D）2

答案：A

6．己知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数。

答案：12

7．一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005°，求多边形的边数。

答案：13 提示：用2005÷180=11余25，n一2=11，n=13

8．若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是________________．答案：七

提示：从外角考虑，外角和中最多有三个钝角，加上四个锐角，最多有七个外角，所以也就最多有七个内角或七条边。

9．如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数．

答案：130°提示：用2570÷180=14余50，180°-50°=130°

六、课题学习镶嵌：

1．本节课是探索并推导平面图形的镶嵌问题，通过这个过程可以加深对多边形内角和的理解．

2．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或

平面镶嵌）的问题。

3．通过探究和实验，总结出平面镶嵌的必要条件是：

（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；

（2）相邻的多边形有公共边．

4．主要解决的问题是：

（1）什么样的正多边形可以实现平面镶嵌?

假定有正n边形，则此正n（n≥3）边形的每一个内角等于，如果在一个顶点周围有k个正n边形的内角，由于这些角的和应为360°，因此有

，化简得，所以此不定方程有且只有三组正整数解：