立体几何中的面面垂直

硕果累累
1、本节课的主讲内容是： 2、学生的学习状态（收获与不足） 3、针对学生的不足之处，老师的一个合理化建议是什么
(2)当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD. 证明如下：如图，连接 AC 交 BD 于 O.
因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点．连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所 以 MC∥OP.MC⊄平面 PBD，OP⊂平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD.
课后练习
2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP ＝90°。
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥 P-ABCD 的体积为83，求 该四棱锥的侧面积．
[解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB， 所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
[解] (1)证明：由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC⊥ CD，BC⊂平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥DM.
因为 M 为C︵D上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC. 而 DM⊂平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)找二面角的平面角的方法 ①垂面法:由二面角的平面角的定义知,只需作与棱垂直的平面,则该平面与 两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角. ②定义法:先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线,然后平移到一起, 两射线的夹角即二面角的平面角.
典型例题
1 面面垂直的判定与性质
【例 1】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ ACM＝90°.以 AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
S△PBC＝12BC·PB＝32 3，S△PBE＝12PB·BE＝ 23，S△PEF＝PE＝2. 在四边形 BCFE 中，过点 F 作 BC 的垂线，垂足为 H(图略)，则 FC2＝FH2
＋HC2＝BE2＋(BC－EF)2＝2，∴FC＝ 2.
在△PFC 中，FC＝ 2，PC＝ BC2＋PB2＝2 3，PF＝ PE2＋EF2＝2 2，
典型例题
2 平面图形的翻折问题
【例 2】 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC ＝12AD＝a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将△ABE 沿 BE 折起到图 2 中△A1BE 的位置，得到四棱锥 A1-BCDE.
(1)证明：CD⊥平面 A1OC；
小试牛刀
(2018·江苏高考)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
小试牛刀
(2018·江苏高考)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
[证明] (1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1.因为 AB⊄ 平面 A1B1C，A1B1⊂平面 A1B1C，所以 AB∥平面 A1B1C.
(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1＝AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B. 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC. 又因为 A1B∩BC＝B，A1B⊂平面 A1BC，BC⊂平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC. 因为 AB1⊂平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.
又 BP＝DQ＝23DA，所以 BP＝2 2. 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE 13DC. 由已知及(1)可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1. 因此，三棱锥 Q-ABP 的体积为 VQ－ABP＝13×QE×S△ABP＝13×1×12×3×2 2sin 45° ＝1.
图1
图2
(2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时，四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36 2，求 a 的
值．
[解] (1)证明：在题图 1 中，连接 EC(图略)， 因为 AB＝BC＝12AD＝a， E 是 AD 的中点，∠BAD＝π2，所以 BE⊥AC. 即在题图 2 中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE，所以 CD⊥平面 A1OC.
规律方法
平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系 的变化情况.一般地，翻折后还在同一平面上的性质不发生变化，不在同一个平 面上的性质发生变化.
小试牛刀
(2018·鄂州模拟)如图，在 Rt△ABC 中，AB＝BC＝3，点 E，F 分别在线段 AB，AC 上，且 EF∥BC，将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角 P-EF-B 的大小为 60°.
规律方法
证明面面垂直的 2 种方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角， 将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题． (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平 面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决， 注意：三种垂直关系的转化
(2)如图，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E. 由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，AB⊥AD， 可得 PE⊥平面 ABCD.
设 AB＝x，则由已知可得
AD＝
2x，PE＝
2 2 x.
故四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD＝13AB·AD·PE＝13x3. 由题设得13x3＝83，故 x＝2. 从而结合已知可得 PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2 2，PB＝PC＝2 2. 可得四棱锥 P-ABCD 的侧面积为 12PA·PD＋12PA·AB＋12PD·DC＋12BC2sin 60°＝6＋2 3.
(1)求证：EF⊥PB； (2)当点 E 为线段 AB 的靠近 B 点的三等分点时，求四棱锥 P-EBCF 的侧面积．
[解] (1)证明：在 Rt△ABC 中，∵AB＝BC＝3，∴BC⊥AB. ∵EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，仍有 EF⊥PE，EF⊥BE， ∴EF⊥平面 PBE，∴EF⊥PB.
符号语言 AB⊥β,AB⊂α⇒α⊥β.
α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α ,AB⊥CD⇒AB⊥β.
2.二面角
(1)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取 一点P,以点P为垂足,在半平面α,β内分别作垂直于棱 l的射线PA和PB,则射线PA和PB构成的∠APB叫作二 面角α-l-β的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的 平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.我们规 定,二面角的取值范围是[0°,180°].平面角是直角的 二面角叫作直二面角.
立体几何中的面面垂直
开门见山
本节主要包括知识点： 1.平面与平面垂直的判定与性质 2.平面图形的翻折问题
巩固双基
1.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一个平面 判定
的垂线,则这两个平面垂 定理
直.
两个平面垂直,则一个平 性质
面内垂直于交线的直线 定理
与另一个平面垂直.
(2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE， 且平面 A1BE∩平面 BCDE＝BE， 又由(1)可得 A1O⊥BE，所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高． 由题图 1 知，A1O＝AO＝ 22AB＝ 22a，平行四边形 BCDE 的面积 S＝BC·AB ＝a2，从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为 V＝13S·A1O＝13×a2× 22a＝ 62a3. 由 62a3＝36 2，得 a＝6.
由余弦定理可得 cos∠PFC＝PF2＋2PFFC·F2－C PC2＝－14，
则 sin∠PFC＝
415，S△PFC＝12PF·FCsin∠PFC＝
15 2.
∴四棱锥 P-EBCF 的侧面积为 S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋2
3＋
15 2.
课后练习
1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧C︵D所在平面垂直， ︵ M 是CD上异于 C，D 的点． (1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC；
(2)∵EF⊥PE，EF⊥BE，∴∠PEB 是二面角 P-EF-B 的平面角， ∴∠PEB＝60°，又 PE＝2，BE＝1，由余弦定理得 PB＝ 3， ∴PB2＋BE2＝PE2，∴PB⊥BE，∴PB，BC，BE 两两垂直， 又 EF⊥PE，EF⊥BE， ∴△PBE，△PBC，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF∽△ABC 可得，EF＝23BC＝2，
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝23DA，求三棱 锥 Q-ABP 的体积．
[解] (1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC. 又 BA⊥AD，且 AC⊂平面 ACD，AD⊂平面 ACD， AC∩AD＝A，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.