2008级研究生高等电磁场理论期末试卷期末试卷参考答案

3、答： （1）由下图所示 KDB 坐标系具有单位矢量 e 1 、 e 2 、 e 3 。由 e 1 、 e 2 、 e 3 表示 XYZ 坐标中的 x 、 y 、
z ，得到 x e 1 s in e 2 c o s c o s e 3 s in c o s
y e 1 c o s e 2 c o s c o s e 3 s in s in
。
T k T T T T T T T
1 1 1 1
（2）在 KDB 坐标系下有
Ek kk Dk k H
k
vk Bk
k
kk Bk ，将 k Dk vk k
代入得：
E k T k T 1 D k T T 1 B k ，方程组左右左乘 T 1 1 H T T B T T D k k k T T
2 2
[ x cos(kz t

2
) y cos(kz t

2
)]
其中
E1
2 2
[ xcos( kz
t)
y c o sk (z
为线极化波。 t )]
E
2

2 2
[ x cos(kz t

2
) y cos(kz t

2
)] 为线极化波。
其中 E 1
E
2
1 2 1 2
[ x c o s ( k z t ) y s in ( k z t )] 为右旋圆极化波。 [ x c o s ( k z t ) y s in ( k z t )] 为左旋圆极化波。

（3）由题意得 E x c o s ( k z t
⑦空间色散:
k E K D ，其中 K 0 0 0 k c o s k z s in ( k k z ) s in c o s ik g k 0 i g
2 2
( k k z ) s in c o s 2 2 k s in k z c o s 0
1
1
得到：
Ek k T H
k
1
Dk T Bk T
1
Bk Dk
1
T
1
1
，由 A T
1
A k ，得：
E k D B ，此即为在 XYZ 坐标系下的表示形式。 H B D
4、答： （1）本构关系：
k
k Bk 0 k Dk 0
KDB 形式是针对平面波的麦克斯韦方程组，特别是在 DB 平面内对波的特性进行分析讨论，为一般介质中 各种平面波特性的解释提供了方便。 D , B 与 k 垂直，可以消去 D3,B3 分量，应用简单的矩阵知识即可求解。 以上形式在无源区域中 J =0，ρ=0。其限定关系，即本构关系为 D E 和 B H 。 （2）描述空间某个小范围（某点）的特性，应该用麦克斯韦方程的微分形式。因为它是通过对无限小的闭 合路径，面元和体积元应用积分形式的麦克斯韦方程，在这些路径，面元和体积元收缩为点的极限下推导 出来的。将给定点处的场矢量的空间变化与其时间变化以及在该点处的电荷和电流密度关联起来。 积分形式也可以用于各种情况，但是计算复杂，适用于推导固定的和移动的边界条件，对于区域综合特 性的描述比较有利。而时谐和 KDB 形式是有针对性的麦氏方程组，计算简单但应用面相对较窄。 （3）本构关系用以描述不同特性的介质，因为电磁波实际问题主要研究的是当有介质存在时电磁场如何响 应。在麦克斯韦方程组中包含 4 个矢量 E , H , B , D 共 12 个标量，③和④不是相互独立的方程，它们可以 由①，②和电荷守恒定律推导出来，真正独立的方程是式①和②，其可以分解为 6 个标量方程，因此还需 要 6 个方程。所以必须要根据实际不同介质的特性，引入本构关系来补全方程数。 （4）麦克斯韦方程组中的高斯定理和安培环路定理对一般电磁场都成立，对于非均匀媒质、无规则分布的 源也成立，但解这类问题时要注意考虑不同媒质分界面上的边界条件。如下图所示：
z e 2 s in e 3 c o s
Ax 假设一个矢量 A 投影到 XYZ 坐标系的分量表示为 A A y ， A 投影到 KDB 坐标系的分量表示为 A z A1 A 2 ，则 A k T A 或者 A T A 3
2
k E D ⑧旋光介质： ，其中 ik g H B 0 D E ⑨旋磁介质： ，其中 i g B H 0
0 0 kz 0 0 z
E i B H i D J
D
B 0
将角频率为 ω 的时谐场量 E , H , B , D , J 和 ρ 代入麦克斯韦方程微分形式，消去时间项，使数学处理大大 简化。适用于分析连续波或时谐场特性。
KDB 坐标系下形式：
kE kH
k
Bk D k
2 2 2 2

4
) ye y cos(kz t

4
)

x [c o s ( k z t ) s in ( k z t )]
2 2
y [c o s ( k z t ) s in ( k z t )]

[ x c o s ( k z t ) y c o s ( k z t )]

0
H D E t ⑩手征介质 E B H t
（2）利用介质制作器件举例： ①手征介质可被设计成具有特殊电磁特性，具有负电导率和负磁导率的左手手征介质。利用 CRLH 材料构建 一个等效传输线，然后用 LC 网络来实现这种传输线，用于制作双通带线耦合器。也可以制造反射调速管， 在真空电子器件中应用。 ②采用双各向异性介质层为衬底的频率选择表面（FSS）为一种周期性的平面结构，对不同频率的入射电波 具有选择性的反射或投射特性。 ③利用手征介质作为微带天线的基体或覆盖层的手机微带天线。选择合适的手征参数可以有效地降低表面 波传输功率，从而提高天线的辐射效应。 ④利用非均匀介质制作散射层析成像，其成像分辨率及质量都较高，还能满足均匀介质背景下的小扰动。 ⑤利用通过回旋介质线极化场矢量发生旋转来制作一种光电器件使得在其中传输的线极化光波的极化方向 改变，或将其变为圆极化波和椭圆极化波。


E dl
c
d dt
s

B d S
s
①
c
H dl J d S
D d S dv
V
d dt

D d S
s
② ③ ④
S
B d S 0
S
① 法拉第定律的积分形式，表示环绕一个闭合路径的电动势等于该路径包围的磁通量其时间变化率的负 值。 ② 安培环路定律的积分形式，表示环绕闭合路径 C 的磁动势等于电荷流动产生的电流和由 C 围成的位移 电流的代数和。 ③ 电场高斯定律的积分形式，表示从闭合面 S 输出的位移量等于由该曲面所包围的电荷。 ④ 磁场高斯定律的积分形式，表示从一个闭合面输出的磁通量等于零。 时谐场形式：
Ak
1
Ak 。
A T
1
A k ，且 A 与 A k 是同一矢量的不同表达形式，
A x x A k x e 1 A1 x e 2 A 2 x e 3 A 3 s in A1 c o s c o s A 2 s in c o s A 3
①各项同性：
D E B H C D E C ，本构矩阵 C 由常数构成。 H C B C D E C ，本构矩阵 C 为电磁场强度的函数。 H C B
②线形介质：
③非线性介质：
④非均匀介质
C D E C ，本构矩阵 C 为空间坐标的函数。 H C B D E H B E H
⑤双各向异性：
H D E t ⑥弥散介质： E B H t
Ay y A k y 1 e 1 A y2 e 2 A
3
y
3
e A co s
1
cAo s
s in
2
A s i n s i 3n
A
A z z A k
z
1
e1 A z2 e A 2
3
z 3 e 0A si n
c o A s 2
2008 级高等电磁场理论期末考试参考答案
1、答： （1）麦克斯韦方程组的四种形式：
微分形式：
E H t B
① ② ③ ④
t
D J
D
百度文库B 0
① 法拉第定律的微分形式，说明电磁场中某一点处电场强度的旋度等于磁通密度随时间的下降率。 ② 安培环路定律的微分形式，说明在电磁场中的某一点处，磁场强度的旋度等于由电荷运动产生的电流密 度和位移电流密度之和。 ③ 电场高斯定律的微分形式，说明在某点处位移通量密度的散度等于该点的电荷密度。 ④ 磁场高斯定律的微分形式，说明在某点处磁通密度的散度等于零。 积分形式：
2、解： （1）由题意得 E

2 x cos(kz t

2
) y cos(kz t

4
) ，则 A
ev eh

1 2
1，
v
h

y

x


4
，所以次波是椭圆极化波。
1 2 y s in ( k z t ) 1 2 1 2 y s in ( k z t )
（2）由题意得 E x c o s ( k z t ) x c o s ( k z t )
1 2
[ x c o s ( k z t ) y s in ( k z t ]
[ x c o s ( k z t ) y s in ( k z t )]
3
A
将上面关系式写成矩阵形式得到：
1
T
s in cos 0
cos cos c o s s in s in
s in c o s s in s in ，此矩阵为正交矩阵， T cos
1
1
T
T
故证得从 KDB 空间到直角坐标系 XYZ 的转换矩阵为 T
5、 答： 分布参数电路是相对于集总参数电路而言的， 其电路参数不像集总参数电路那样集中于某些元件上，
如电感、电容。分布参数电路的参数是分布在整个电路中，随位置的变化而变化，比如在解传输线问题中 就会涉及到此类问题。 （1）解： V
Z0 Z 0 RS V 0 9 0V ， I V Z0 1 .5 A ，
S
RS Z 0 RS Z 0

1 2
， L
RL Z 0 RL Z 0
媒质1 Dn1 Et1 Js Ht1 + ρs Dn2 媒质2 Bn2 Bn1 an
Et2
Ht2
以上图解说明在两个不同媒质之间的分界面上的任意点处， 与分界面平行的 E 1 和 E 2 分量相等； H 1和H 2分 量不连续，差值等于在该点处的面电流密度；与分界面垂直的 D 1 和 D 2 分量不连续，差值等于在该点处的 面电荷密度； B 1 和 B 2 分量相等。