江苏省无锡市天一中学高一(上)期末数学试卷(强化班)

江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷（强化班）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

M）∩N= ．1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁

R

2．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则x+y= ．

3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）= ．5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．

6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= ．

7．（5分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是．

8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为．

9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为．

10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ．

11．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．

12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．

13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的

实数根x

1，x

2

，x

3

，则实数m的取值范围是；x

1

+x

2

+x

3

的取值范围是．

14．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f （x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为．

二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；

（Ⅰ）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为，求ω的值．

16．（14分）已知△ABC中．

（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；

（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值．

17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．

（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．

18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD 是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．

（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；

（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ 周长为2．

（1）求PQ的最小值；

（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．

20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．

（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g （x）=2x+1图象的下方；

（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁

M）∩N= {x|x＜﹣2} ．

R

【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，

∴∁

M={x|x＜﹣2或x＞2}，

R

M）∩N={x|x＜﹣2}．

则（∁

R

故答案为：{x|x＜﹣2}

2．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则x+y= 0 ．

【解答】解：∵，，

∴=2x﹣4=0，2y+4=0，

则x=2，y=﹣2．

∴x+y=0．

故答案为：0．

3．

（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【解答】解：∵，=1

∴=

∴|2|====

解得

故答案为：3

4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）= ﹣．【解答】解：∵cosα=，且α∈（﹣，0），

∴sinα=﹣=﹣，

则sin（π﹣α）=sinα=﹣．

故答案为：﹣

5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．

【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log

2m，b=log

5

m，由换底公式得

，∴m2=10，∵m＞0，∴

故应填

6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= sin （4x+）．

【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，

得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，

将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x+）

故答案为：sin（4x+）．

7．（5分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是[﹣1，0）．

【解答】解：作出函数的图象如图，由图象可知0＜g（x）