电路分析基础第5章
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第5章 正弦交流电路
5.1 正弦交流电的基本概念 5.2 正弦交流电的相量表示 5.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容 5.4 基尔霍夫定律的相量形式 5.5 阻抗串联电路的分析 5.6 导纳并联电路的分析 5.7 正弦交流电路的功率
5.8 功率因数的提高 5.9 交流电路中的谐振 本章小结 阅读材料：示波器简介 实验8 典型电信号的观察与测量 实验9 日光灯功率因数的提高
有效值的定义为：让交流电流i和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消 耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。 有效值用大写字母表示，如I、U
由此可知，在相同时间T内电阻R消耗的能量为
W I 2RT T i2R dt 0
即交流电流的有效值为
初相位指t=0时所对应的相位角φ0，它反映了计时起点 的状态，取值范围在－180°～+180 ° 。图5-3给出了几种 不同计时起点的正弦电流的解析式和波形图。由波形图可以
(1)若正弦量波形起点就在坐标原点，则初相φi=0，如图 5-3(a)
(2)若正弦量波形起点在坐标原点左侧，则初相φi>0，如 图5-3(b)
f 1 50Hz
0
π，周期
2
T
2π
0.02s，频率
T
(2)波形图如图5-4
图5-4 例5-3波形图
(3)t=0.01s
u 220 2 sin(10 0.01 π )
2 220 2 sin 3π 220 2 (1) 220 2V
ω=100πrad/s=314rad/s 3.初相及相位 相位是反映正弦交流电任一时刻状态的物理量。正弦交 流电的大小和方向是随时间变化的，它的表达式是i(t)=Im sin(ωt+φi)，其中的ωt+φi相当于角度，它反映了交流电任一 时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等， 因此把ωt+φi
【例5-2】 一个电容器的耐压值为250V，能否用在
220V 解 因为220V的单相交流电源为正弦电压，其振幅值为
311V，大于电容器的耐压值250V，电容器可能被击穿，所 以不能接在220V
注意：各种电气元件和电气设备的绝缘水平(耐压值)要
2. 角频率：表征正弦电量每秒内变化的电角度，用ω表示， 单位为弧度/秒(rad/s) 周期：正弦电量变化一周所需的时间称为周期，通常用 T表示，单位为秒(s)。常用单位有毫秒(ms)、微秒(ms)、纳 秒(ns) 频率：正弦电量每秒钟变化的周期数称为频率，用f表 示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互为倒数，即
电压、电动势分别称为正弦交流电流、电压、电动势。在某
一时刻t的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i(t) Imsin(t i )
u(t) Umsin(t u )
e(t)
Emsin(t
e
)
wk.baidu.com
式(5-1)中，u、i、e分别为电压、电流和电动势的瞬时值； Im、Um、Em分别叫做交流电流、电压、电动势的最大值(也 叫做峰值或振幅)；ω叫做交流电的角频率；φi、φu、φe分别 叫做电流、电压、电动势的初相位或初相。以电流为例，其
I 1 T i 2dt
T0
将正弦交流电流的瞬时值表达式代入上式，可得
I
1 T
T 0
I
2 m
sin
2
tdt
I
2 m
T 1 cos2t
dt
T0
2
I
2 m
(
T
dt
T
cos2tdt)
2T 0
0
I
2 m
2T
(T
0)
Im 2
0.707I m
由此得出正弦量有效值和最大值的关系为
I Im 0.707Im 2
波形如图5-1所示。由于角频率、最大值和初相可决定一个
图5-1 正弦量波形示意图
1.最大值及有效值 正弦交流电量瞬时值中的最大值称为振幅或峰值。它表 明了正弦量振动的幅度。在公式中分别用Im(单位为安培A)、 Um、Em(单位为伏特V) 正弦量的瞬时值大小是随时间变化的，这给计量正弦量 的大小带来了困难。电路的一个重要作用是电能转换，正弦 量的瞬时值不能确切反映电路在能量转换方面的效果，为此， 我们引入正弦交流电有效值的概念，它是根据热效应定义的。
5.1 正弦交流电的基本概念
交流电(AlternatingCurrent) AC，一般指大小和方向随时间作周期性变化的电压或电流。 交流电可以有效传输电力，它的最基本的形式是正弦交流电， 但实际上还有其他的波形，例如三角波和方波。生活中使用
5.1.1 正弦交流电量的三要素 大小与方向均随时间按正弦规律作周期性变化的电流、
f1
(5-4)
T
我国和世界上大多数国家一样，电力工业的标准频率即
所谓的“工频”是50Hz，其周期为0.02s，少数国家(如美国、 日本)的工频为60Hz。在其他技术领域中也要用到各种不同 的频率，例如：声音信号频率约为20Hz～20000Hz，广播中 波段载波频率为535Hz～1605Hz，电视用的频率以MHz计。
(3)若正弦量波形起点在坐标原点右侧，则初相φi<0，如 图5-3(c)所示。
图5-3 初相不同时的正弦电流波形
【例5-3】 已知一个正弦电压
u 220 2 sin(314t π )V 2
(1)
(2)
(3)计算t=0.01s
解 (1)三要素：最大值 U m 220 2V ，角频率
ω=314rad/s，初相位
U Um 0.707Um 2
(5-2) (5-3)
【例5-1】 日常所说的照明电压为220V，其最大值是多
解
U m 2U 220 2V 311V
在日常生活和生产中常提到的220V、380V电压指的是 交流电的有效值，用于测量交流电压和交流电流的各种仪表 所指示的数字以及电气设备铭牌上的额定值也是有效值。应 当注意，并非在所有场合中都用有效值来表征正弦交流电的 大小。例如，在确定交流电气设备的耐压值时，就应考虑电
ω、T、f三者都反映了正弦量变化的快慢。在一个周期 T内，正弦量所经历的电角度为2π弧度，如图5-2所示。由角 频率的定义可知，角频率与频率及周期间的关系为
2πf 2π
T
(5-5)
图5-2 角频率与周期及频率间的关系
我国使用的工频电信号其周期频率f=50Hz，T=1/f=0.02s， 则角频率为
5.1 正弦交流电的基本概念 5.2 正弦交流电的相量表示 5.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容 5.4 基尔霍夫定律的相量形式 5.5 阻抗串联电路的分析 5.6 导纳并联电路的分析 5.7 正弦交流电路的功率
5.8 功率因数的提高 5.9 交流电路中的谐振 本章小结 阅读材料：示波器简介 实验8 典型电信号的观察与测量 实验9 日光灯功率因数的提高
有效值的定义为：让交流电流i和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消 耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。 有效值用大写字母表示，如I、U
由此可知，在相同时间T内电阻R消耗的能量为
W I 2RT T i2R dt 0
即交流电流的有效值为
初相位指t=0时所对应的相位角φ0，它反映了计时起点 的状态，取值范围在－180°～+180 ° 。图5-3给出了几种 不同计时起点的正弦电流的解析式和波形图。由波形图可以
(1)若正弦量波形起点就在坐标原点，则初相φi=0，如图 5-3(a)
(2)若正弦量波形起点在坐标原点左侧，则初相φi>0，如 图5-3(b)
f 1 50Hz
0
π，周期
2
T
2π
0.02s，频率
T
(2)波形图如图5-4
图5-4 例5-3波形图
(3)t=0.01s
u 220 2 sin(10 0.01 π )
2 220 2 sin 3π 220 2 (1) 220 2V
ω=100πrad/s=314rad/s 3.初相及相位 相位是反映正弦交流电任一时刻状态的物理量。正弦交 流电的大小和方向是随时间变化的，它的表达式是i(t)=Im sin(ωt+φi)，其中的ωt+φi相当于角度，它反映了交流电任一 时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等， 因此把ωt+φi
【例5-2】 一个电容器的耐压值为250V，能否用在
220V 解 因为220V的单相交流电源为正弦电压，其振幅值为
311V，大于电容器的耐压值250V，电容器可能被击穿，所 以不能接在220V
注意：各种电气元件和电气设备的绝缘水平(耐压值)要
2. 角频率：表征正弦电量每秒内变化的电角度，用ω表示， 单位为弧度/秒(rad/s) 周期：正弦电量变化一周所需的时间称为周期，通常用 T表示，单位为秒(s)。常用单位有毫秒(ms)、微秒(ms)、纳 秒(ns) 频率：正弦电量每秒钟变化的周期数称为频率，用f表 示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互为倒数，即
电压、电动势分别称为正弦交流电流、电压、电动势。在某
一时刻t的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i(t) Imsin(t i )
u(t) Umsin(t u )
e(t)
Emsin(t
e
)
wk.baidu.com
式(5-1)中，u、i、e分别为电压、电流和电动势的瞬时值； Im、Um、Em分别叫做交流电流、电压、电动势的最大值(也 叫做峰值或振幅)；ω叫做交流电的角频率；φi、φu、φe分别 叫做电流、电压、电动势的初相位或初相。以电流为例，其
I 1 T i 2dt
T0
将正弦交流电流的瞬时值表达式代入上式，可得
I
1 T
T 0
I
2 m
sin
2
tdt
I
2 m
T 1 cos2t
dt
T0
2
I
2 m
(
T
dt
T
cos2tdt)
2T 0
0
I
2 m
2T
(T
0)
Im 2
0.707I m
由此得出正弦量有效值和最大值的关系为
I Im 0.707Im 2
波形如图5-1所示。由于角频率、最大值和初相可决定一个
图5-1 正弦量波形示意图
1.最大值及有效值 正弦交流电量瞬时值中的最大值称为振幅或峰值。它表 明了正弦量振动的幅度。在公式中分别用Im(单位为安培A)、 Um、Em(单位为伏特V) 正弦量的瞬时值大小是随时间变化的，这给计量正弦量 的大小带来了困难。电路的一个重要作用是电能转换，正弦 量的瞬时值不能确切反映电路在能量转换方面的效果，为此， 我们引入正弦交流电有效值的概念，它是根据热效应定义的。
5.1 正弦交流电的基本概念
交流电(AlternatingCurrent) AC，一般指大小和方向随时间作周期性变化的电压或电流。 交流电可以有效传输电力，它的最基本的形式是正弦交流电， 但实际上还有其他的波形，例如三角波和方波。生活中使用
5.1.1 正弦交流电量的三要素 大小与方向均随时间按正弦规律作周期性变化的电流、
f1
(5-4)
T
我国和世界上大多数国家一样，电力工业的标准频率即
所谓的“工频”是50Hz，其周期为0.02s，少数国家(如美国、 日本)的工频为60Hz。在其他技术领域中也要用到各种不同 的频率，例如：声音信号频率约为20Hz～20000Hz，广播中 波段载波频率为535Hz～1605Hz，电视用的频率以MHz计。
(3)若正弦量波形起点在坐标原点右侧，则初相φi<0，如 图5-3(c)所示。
图5-3 初相不同时的正弦电流波形
【例5-3】 已知一个正弦电压
u 220 2 sin(314t π )V 2
(1)
(2)
(3)计算t=0.01s
解 (1)三要素：最大值 U m 220 2V ，角频率
ω=314rad/s，初相位
U Um 0.707Um 2
(5-2) (5-3)
【例5-1】 日常所说的照明电压为220V，其最大值是多
解
U m 2U 220 2V 311V
在日常生活和生产中常提到的220V、380V电压指的是 交流电的有效值，用于测量交流电压和交流电流的各种仪表 所指示的数字以及电气设备铭牌上的额定值也是有效值。应 当注意，并非在所有场合中都用有效值来表征正弦交流电的 大小。例如，在确定交流电气设备的耐压值时，就应考虑电
ω、T、f三者都反映了正弦量变化的快慢。在一个周期 T内，正弦量所经历的电角度为2π弧度，如图5-2所示。由角 频率的定义可知，角频率与频率及周期间的关系为
2πf 2π
T
(5-5)
图5-2 角频率与周期及频率间的关系
我国使用的工频电信号其周期频率f=50Hz，T=1/f=0.02s， 则角频率为