一元一次方程知识点总结

一元一次方程知识点总结
一、等式与方程
1．等式：
（1）定义：含有等号的式子叫做等式．
（2）性质：
①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变．
若a b
=那么a c b c
+=+
②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．
若a b
=那么有ac bc
=或a c b c
÷=÷（0
c≠）
③对称性：若a b
=，则b a
=．
④传递性：若a b
=，b c
=则a c
=．
（3）拓展：
①等式两边取相反数，结果仍相等．
如果a b
=，那么a b
-=-
②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．
如果0
a b
=≠，那么11 a b =
③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．
如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．
④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．
2．方程：
（1）定义：含有未知数的等式叫做方程．
（2）说明：
①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可．
②未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以．
未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程．
一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！
③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似．
指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数．
未知数次数最高是几就叫几次方程．
④方程有整式方程和分式方程．
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
二、一元一次方程
1．一元一次方程的概念：
（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．
（2）一般形式：0
ax b
+=（a，b为常数，x为未知数，且0
a≠）．
（3）注意：
①该方程为整式方程．
②该方程有且只含有一个未知数．
③该方程中未知数的最高次数是1．
④化简后未知数的系数不为0．如：212
x x
-=，它不是一元一次方程．
⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如1
3x
x
+=，它不是一元一次方程．
2．一元一次方程的解法：
（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“?
x=”的形式．（2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程．
（3）移项：
①定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项．
②说明：
Ⅰ移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变．Ⅱ移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①．
Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．
（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：
①去分母——等式的性质②
②去括号——分配律
③移项——等式的性质①
④合并——合并同类项法则
⑤系数化为1——等式的性质②
⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）
（5）一般方法：
①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数．
②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律．
③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了
要变号．（一般都是把未知数移到一起）
④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为ax b
=（0
a≠）的形式．
⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数．
⑥检验，用代入法，在草稿纸上算．
（6）注意：
（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）
①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；
②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，
Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘
Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；
③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；
⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；
⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算．
（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同．
分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变．
3．一元一次方程的应用：
（1）解决实际应用题的策略：
①审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的
精读，要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用
笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．
②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他
相关的量．
③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．
（2）分析问题方法：
①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系
②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系
③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系
（3）设未知量方法：
一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程．
①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关
系；
②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量．
（4）找等量关系的方法：
“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系．
①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关
键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系．
②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积
公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总
量等．这些常见的基本数量关系，就是等量关系）
③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等
量关系．
④借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化．对
于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系．
（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点：
①“审”要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及
其相互关系．
②“设”设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号．
③“列”根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式
的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重
复利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来．
④“解”解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往会简化计算．
⑤“验”检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况．
⑥“答”写出答案，一定要答完整，有单位要加单位．
（6）解应用题关键与核心：
根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步）．就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程．核心是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系
中的各个部分，从而列出方程．
（8）实际问题的常见题目类型：基本量、基本关系、等量关系：
①“和、差、倍、分类问题”：弄清和谁比，比谁多，比谁少
增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量．
②“等积变形问题”：锻造前的体积=锻造后的体积
长方体的体积=长×宽×高，圆柱的体积=底面积×高．
③“打折利润问题”：利润是和成本比的
利润进价，售价=标价×折扣．
利润=售价-进价，利润率=÷
④“行程问题”：（相遇问题和追及问题）
路程=时间×速度，时间=÷
路程速度，速度=÷
路程时间．
（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
⑤“销售问题”总价=单价×数量，总钱数=各部分钱数和．
⑥“利率（息）问题”本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间（期数）．
⑦“工程问题”工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和．
⑧数字问题（包括日历中数字规律）⑨比例分配问题⑩调配问题
注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要多加练习，培养分析问题解决问题的能力，熟练掌握列方程解应用题的一般方法．。