四川大学数学分析考研真题

四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题

一、极限（每题7分，共28分）

1. 2)11(lim x x x x

e +-+∞→ 2. )11ln(lim 21

n n ne n

n +-+∞→ 3.

2

1

)!(lim n n n +∞

→ 4. )]

1ln([cos lim

22

2x x x e

x x x -+--→

二、计算或证明下列各题（每题10分，共60分） 1.设当0≤x

时，2

1)(x

x f +=；当0>x 时，x

xe

x f -=)(.求

dx x f ⎰

-3

1

)2(

2.设

x x x f -=2)2('，0)1(=f ，求)(x f .

3.计算曲面积分dS z y x I

S

⎰⎰++=)(，其中曲面}0,:),,{(22223≥=++∈=z a z y x R z y x S

4.计算曲线积分dy m e y dx my e y I

x

AmB

x ))('())((-+-=

⎰

ϕϕ，其中)(y ϕ、)('y ϕ为平面2R 上的连续函数，AmB 为连接点)2,1(A 、)4,3(B 的任意简单路径（方向从A 到B ），但它与直线AB 围城的区域

面积为定值P （0>P

）

5.计算曲面积分dS z y x I S

⎰⎰

++=)cos cos cos (2

22γβα，其中

S

为圆锥面

222z y x =+，

h z ≤≤0，αcos ，βcos ，γcos 该曲面的外发向量n 的方向余弦.

6.设函数),(y x z z

=具有二阶连续偏导数且满足方程

0)1()21()1(22222=∂∂++∂∂∂+++-∂∂+y

z

p p y x z pq q p x z q q

其中x

z

p ∂∂=，y z q ∂∂=。假设y x u +=，z y v +=，z y x w ++=之下，证明：

02=∂∂∂v u w 。

三、（本题10分）设)(x f 在]1,0[上具有连续导数，证明：)1()(lim 1

0f dx x f x n n n =⎰∞

→

四、（本题10分）设

)(x f 在),(b a 内二阶可微，证明：存在),(b a c ∈，

使得)(''4

)()()2(2)(2

c f a b b f b a f a f -=++-

五、（本题10分）设

)(x f 在),(b a 内具有连续导数，且0)()(==b f a f ，

证明：

dx x f a b x f b

a

b x a ⎰

-≥≤≤)()(4

)('max 2

六、（本题12分）设0>x 、0>y 、0>z ，证明：

2222)1

()1()1()1(3z

z y y x x z y x z y x +++++≤+++++

七、（本题20分）设

)(x f 在+∞<<∞-x 上有定义，在点0=x 的某领域内有二阶连续导数，且

R a x

x f x ∈=→)

(lim 0. 证明（1）若0>a ，则级数∑∞

=-1)1()1(n n

n f 收敛，级数∑∞

=1

)1(n n f 发散. （2）若0=a ，则∑

∞

=1

)1

(n n

f 绝对收敛.