推导第二宇宙速度

推导第二宇宙速度问题

第二宇宙速度是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星，或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度，也叫脱离速度。

模型假设

(1)假设在地球上将一颗质量为m 的卫星发射到绕太阳运动的轨道需要的最小发射速度为v ；地球半径为6400R km =。

(2)此时卫星绕太阳运动可认为是不受地球引力，距离地球无穷远；

(3)认为无穷远处是引力势能0势面，并且发射速度是最小速度，则卫星刚好可以到达无穷远处，设r 为地球至无限远那点处的距离。 建立模型

由动能定理得

1/2**^2/m v mgR GMm r -=

求解模型

上式中，

∵,r mgR →∞为地球表面重力势能

∴/0GMm r ≈

解得11.2/v km s ==

模型分析

地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度。第二宇宙速度为11.2km/s ，是第一

脱离地球。

发射地球卫星，其速度必需是大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度。若发射速度达到第二宇宙速度时，轨道半径无穷大（理论值），这就会脱离地球的引力作用范围，而被比地球引力大得多的太阳引力吸引过去，成为行星。所以说要发射地球卫星，其速度必需是大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度。即7.9km/s＜v＜11.2km/s (不取等号)。

采用椭圆轨道的原因主要是能耗的问题，发射卫星时轨道越高需要火箭能量越大，发射的过程基本属于阿基米德螺旋式上升，当主动段结束后，卫星的惯性轨道基本上是椭圆轨道，而圆轨道需要在椭圆轨道的高点上变轨实现，变轨能耗是很高的，除了应用需要外，能不变轨尽量不要变轨，因为能耗是发射成本的关键，越低越好。

理论上所有的轨道都是椭圆轨道，圆轨道是椭圆轨道的两个焦点非常接近的结果。

轨道之所以是椭圆形的，是因为其速度与其运行矢径（卫星与地心连线）不垂直。

环绕地球飞行的飞行物，一般轨道是椭圆，椭圆上离地球最远的是远地点，最近的是近地点。是由引力决定的。