逐差法求加速度

• [练习] 在测定匀变速直线运动的加速度实验 中，得到一条纸带如下图所示，A、B、C、D、 E、F为相邻的6个计数点，若相邻计数点的时 间间隔为0.1 s，则粗测小车的加速度为 1.58 ________m/s2.
推论：Xm－Xn=(m－n)aT2
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应用1：分析纸带时常用此方法及规律 (1)判断物体是否做匀加速直线运动 由于相邻相等时间内物体位移差 Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT 2 如果物体做匀变速直线运动，即a恒定，则Δx为 一恒量，这一结论反过来也成立。 • 即如果所打纸带在任意两个相邻相等时间内位移 差相等，则说明物体做匀变速直线运动．
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Δx1 Δx2 Δxn a1＋a2＋…＋an＋1 T2 ＋ T2 ＋…＋ T2 如： a ＝ ＝ n n x2－x1＋x3－x2＋…＋xn＋1－xn xn＋1－x1 ＝ ＝ nT2 nT2
这样求平均值的结果仍是由两段 T 内的位移 xn＋1 和 x1 决定，其余各段都没有有效利用，偶然误差相同，不利于准 确研究物体运动的加速度．
X1
X2
X3
X4
X5
X6
应用 2：逐差法求加速度 Δx 虽然用 a＝ 2 可以从纸带上求得加速度，但利用一个 Δx 求得 T 的加速度偶然误差太大，最好多次测量求平均值． 求平均值的方法可以有两个： 一是求各段 Δx 的平均值，用 Δx 求加速度， 二是对每一个位移差分别求出加速度，再求加速度的平均值． 两种求平均值的实质是相同的，达不到减小偶然误差的目的．
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅由两次位移 测量带来的偶然误差，这种方法被称为逐差法．
逐差法求加速度方法二 B O A C
D
E
X1 X2 X3 X4 X5 如图所示，如果纸带上测得连续5个相同时间T内的位移x1、x2、 x3、…、x5 奇数≥5 去一段留连续部分 由Xm－Xn=(m－n)aT2得
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x5 x2 a2 2 3T
逐差法求加速度方法二 B O A C
D
E
X1 X2 X3 X4 X5 如图所示，如果纸带上测得连续5个相同时间T内的位移x1、x2、 x3、…、x5 奇数 去中间留两边 由Xm－Xn=(m－n)aT2得
a1 a2 ( x4 x5 ) ( x1 x2 ) a 2 2 6T
x4 x1 a1 3T 2
我们怎样把纸带上各段位移都利用起来计算加速度呢？
逐差法求加速度方法一
如图所示，如果纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、 x3、…、x6 偶数≥4 2得 由Xm－Xn=(m－n)aT
x5 x2 x4 x1 x6 x3 a1 a2 a3 2 2 3T 3T 3T 2 a1 a2 a3 ( x4 x5 x6 ) ( x1 x2 x3 ) a 3 9T 2
x5 x3 x4 x 2 a2 a1 2 2 2T 2T a1 a2 ( x4 x5 ) ( x2 x3 ) a 2 2 4T
总结：两段法求加速度：（两计数点时间T）
3T 3T
( x 4 x 5 x6 ) ( x 1 x 2 x 3 ) a 2 ( 3T )
解：相邻两计数点间的时间间隔
T＝5×0.02 s＝0.1 s
任意两连续相等的时间间隔T内的位移之差 Δx＝2.00 cm＝0.02 m 由Δx＝aT2得
x 0.02 a 2 2.0m / s 2 T 0.12
练习：某学生用打点计时器研究小车的匀变速直线运动．他 将打点计时器接到频率为50 Hz的交流电源上，实验时得到一 条纸带如下图所示．他在纸带上便于测量的地方选取第一个 计时点，在这点下标明A，第六个点下标明B，第十一个点下 标明C，第十六个点下标明D，第二十一个点下标明E.测量时 发现B点已模糊不清，于是他测得AC长为14.56 cm，CD长为 11.15 cm，DE长为13.73 cm，则打C点时小车的瞬时速度大小 为________m/s，小车运动的加速度大小为________m/s2，A 、B的距离应为________cm.(保留三位有效数字)
O
X1
由△X= aT 2得
A
X2
B
X3
C
X4
D
X5
E
( x 4 x5 ) ( x 2 x 3 ) a ( 2T )2
例：在实验中，得到纸带如图所示，图中的点为计数点，在 每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则小车运动的 加速度为(单位：m/s2)
A．0.2 B．2.0 C．20.0 D．200.0
解法三：用逐差法． 由 Δx＝aT2 可得 Δx 64－24 a＝ 2 ＝ ＝2.5 m/s2 2 T 4 1 2 又 x1＝vAT＋ aT 2 vC＝vA＋a· 2T 由①②③解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s. ① ② ③
[规律方法] 质点做匀加速直线运动，设质点运动的 初速度为v0、加速度为a，可根据位移公 式或速度公式与平均速度推论式或逐差 法求解．
逐差法求加速度
（补充内容）
逐差相等关系
前提条件
做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时 间间隔T内 ，位移之差是一个常量 即Δx＝x2－x1＝ x3－x2 =··· xn－xn-1= aT 2 ··= ··
X1
X2
X3
X4
X5
X6
推论：Xm－Xn=(m－n)aT2 此推论常有两方面的应用： 一是用以判断物体是否做匀变速直线运动， 二是用以求加速度
X CD X DE X AB X BC a1 a2 a 2.58m / s 2 2 4T 2 ΔX＝XDE－XCD＝XCD－XBC＝XBC－XAB
代入数据得XAB＝5.99 cm.
典例2一物体做匀变速直线运动，在连续相等的 两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和 64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速 度、末速度及加速度．
解析：物体做匀变速直线运动，
平均速度等于中间时刻的瞬时速度．所以C点的速 X AC X CD 度等于AE距离的平均速度 X DE 0.986m / s v V
c AE
4T
为使得到的实验数据更准确，应该采用逐差法计算加速度 由Xm－Xn=(m－n)aT2得
X CD X AB a1 2T 2 X DE X BC a2 2T 2
解法二：用平均速度法． 连续两段时间 T 内的平均速度分别为： x1 24 x2 64 v 1＝ T ＝ ＝6 m/s v 2＝ T ＝ ＝16 m/s. 4 4 vA＋vB vB＋vC 且 v 1＝ v 2＝ ， 2 2 由于 B 是 A、C 的中间时刻， vA＋vC v 1＋ v 2 6＋16 则 vB＝ ＝ ＝ ＝11 m/s. 2 2 2 解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s vC－vA 21－1 其加速度为：a＝ ＝ ＝2.5 m/s2. 2T 2×4
[解析]
解法一：基本公式法．
如图所示，由位移公式得， 1 2 x1＝vAT＋ aT 2 1 1 2 2 x2＝vA· 2T＋ a(2T) －(vAT＋ aT )， 2 2 vC＝vA＋a· 2T， 将 x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s 代入以上三式， 解得 a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.