李雅普诺夫判据

设 为由 维矢量 所定义的标量函数，，且在 处，恒有 。所有在域 中的任何矢量 ，如果：
1） ，则称 为正定的。
2） ，则称 为半正定。
3） ，则称 为负定的。
4） ，则称 为半负定的。
5） 或 ，则称 为不定的。
二、问题
用李雅普诺夫第二法来研究下面的系统是否稳定
，其中取A= ，B=
输出：
判断系统的稳定性，若系统不稳定试设计稳定器U优化。
五、参考文献
[1]刘豹唐万生.现代控制理论[M].北京.机械工业出版社
[2]胡寿松自动控制原理[M].北京.科学出版社
பைடு நூலகம்[3]网络文献
[4]网络文献https://
P=lyap(A',Q)
P=
由于 ，由希尔维斯特判据可知，P（即 ）不是正定的，所以原系统不是渐近稳定，只在李亚普诺夫意义下稳定。
2、设计稳定器U
正定标量函数为： ，
沿任意轨迹求 的对时间的导数为： ，
其中将系统方程改写为 ，
得到: ，
要使得系统是稳定的，则必须要使 恒小于0（为负定），
取 ，
可得 ，满足条件。
代入原系统状态方程，则A=
将上式带入 中可以求出P。
P= , ,则 为正定。
通过以上的计算可知施加控制器 后，经校正后的系统是稳定的。
3、结构图
在Matlab中利用simulink搭建框图进行仿真。
图1
输入输出波形如下：
图2
波形如下：
图3
控制器U波形如下：
图4
误差曲线如下：
图5
四、结论
由希尔维斯特判据可判定原系统是不稳定的，施加控制器后，由希尔维斯特判据可判定经校正后的系统是稳定的，由仿真结果可以证实。不稳定的系统可以通过加控制器U，使系统最终趋向渐近稳定，成为稳定的系统。由上可知，李雅普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数 。
一、背景介绍
从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。
但是，由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数 ，作为虚构的广义能量函数，然后，根据 的符号特征来判别系统的稳定性。对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数 ，而 是负定的，则这个系统是渐进稳定的。这个 叫做李雅普诺夫函数。
李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是通过借助与一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰落，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐进稳定的。
三、解决方法
1、稳定性判定：
在Matlab中计算得
>>A=[2,2,1;-2,0,1;-1,-1,0]
>>a=det(A)
a=2
由上可得原点是系统唯一的平衡点
设 ，
将上式带入 中可以求出P。
A=[-1,2,1;-2,0,1;-1,-1,0];
B=[1 0 0]';
C=[1 1 1]';
D=0;
Q=eye(3);