地震学讲稿_11 各向异性介质中的平面波

图11.1 点源在各向异性介质中产生的波前面。

波前面法向

射线方向

偏振方向 第11章 各向异性介质中的平面波 介质中一点的物理性质如果与方向有关, 该介质被称为各向异性介质. 微观晶体的物性一般是各向异性的. 如果晶体的排列杂乱无章, 宏观上就会表现出各向同性. 地球介质的各向异性主要表现在地壳与上地幔, 以及地球的内核. 孔隙及微破裂的定向排列, 结晶体的优势方向排列都会表现出地震波速宏观各向异性. 各向异性介质中的地震波传播理论比各向同性的要复杂的多, 描述介质弹性性质的参数也多. 但是，地球介质的宏观各向异性给地震波传播造成的影响比较微弱, 大多数观测结果缺乏有力的各向异性证据. 随着地震观测仪器精度与动态范围、观测手段的提高，各向异性的研究越来越受到重视。内核相对于地幔差速转动的发现就依赖于内核的各向异性模型。 首先我们看一个简单的例子，以此认识各向异性介质中波的复杂性。假设介质是均匀各向异性的。设地震波由一点发出，由于波向不同方向传播的相速度是不相同的，在特定的时间后形成的波前面（等相位面）不再是一个圆球，而是一个曲面。如图(11.1)所示，射线的方向是能量传播的方向，能量传播的速度叫群速度。波前面法向是相位传播的方向，也是波幔度方向，整个波前面是平面波等相位面的包络。从图中可以看出，射线与波前面并不垂直，能量传播的方向、相位传播的方向以及波的偏振方向不在同一个方向，即使是P 波也可能如此。

11.1 相速度、群速度、偏振 我们用简谐平面波来演示上述特征。设简谐平面波的位移形式为

())(exp ),(x s g u ⋅--=t i t x ω，

或写成分量形式

())(exp ),(x s ⋅--=t i g t x u i i ω （11.1）

其中波幔度矢量c

s

s ˆ=

，c 为相速度，s

ˆ为幔度单位矢量（等相位面传播的方向），是给定的已知量。相速度c 是与幔度单位

矢量s

ˆ有关的待定量。 g 为位移偏振矢量，与坐标无关，是与幔度单位矢量s ˆ有关的待定矢量。 弹性动力学方程为

j

ij i x t t u

∂∂=),(),(x x τρ . （11.2）

广义胡克定律

k

l

ijkl

ij x u C ∂∂=τ （11.3） 将（11.3）带入（11.2）得

k

j l

ijkl i x x u C t u

∂∂∂=2),(x ρ。 （11.4） 将（11.1）带入（11.4）得

l j k ijkl i g s s C g =ρ

或写成

0)(=-l il j k ijkl g s s C ρδ。 （11.5）

由幔度矢量的定义，可把（11.5）写成

0)ˆˆ(2=-l il j k ijkl g c s s

C ρδ。 （11.6） 令j k ijkl

il s s C M ˆˆρ

=

，（11.6）可写成

g g M 2c =⋅ （11.7）

由(11.7)可知, 只要给定幔度矢量的方向s

ˆ, 相速度c 以及偏振矢量g 就是满足方程(11.7)的解。 方程(11.7)是求矩阵M 的本征值及本征矢量问题。 由于M 是实对称矩阵, 它一定存在三个相互正交的本征矢量, 而且相应的本征值为正的实数。 满足(11.7) g 的非零解条件是

()0det 2=-I M c , (11.8)

上式(11.8)即为本征值2c 所满足的方程。 为了表达(11.8)的涵义, 假设介质是各向同性的， 即

)(jl ik jk il kl ij ijkl C δδδδμδλδ++=. (11.9)

由此得 []il l

i il s s

M μδμλρ

++=

ˆˆ)(1

, 代入(11.8)得到

[]0ˆˆ)(1det 2=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-++il il l i c s s

δμδμλρ. (11.10.) 由于本征值与本征矢量与坐标的选取没有关系(也就是坐标变换不会改变本征值与本征向量的解), 又由于介质是各向同性的, 坐标的旋转也不会改变介质参数的表达形式。我们选取

1x ˆ与给定的幔度单位矢量s ˆ重合, 即s x ˆˆ1=, 则 1ˆi i s δ=, 代入(11.10)得 00

00022

2

2

=---+c c c ρ

μρ

μρ

μλ. (11.11)

即

02222=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+c c c ρμρμρμλ 由此推得相速度c 的一个解为

ρ

μ

λ2+=

c , P 波的速度. 另外两个解相同

ρ

μ

=

c , S 波的速度。 对于P 波, 设g 为归一化的单位矢量, 即12

32221=++g g g , 由(11.7)得到0,0,1321===g g g 。

即 s

g ˆ=, 偏振方向与相位传播方向相同，这与已知的结果一致。 同样可以证明, 两个S 波的偏振方向相互垂直, 而且它们也与P 的偏振方向垂直。 对于一般的各向异性介质, 给定一个单位幔度矢量，本征值方程(11.8)有三个实根。它们分别代表准P 波(qP )和两个准S 波(qS )的相位在此方向的传播速度。 由(11.7)能解出与本征值对应的三个相互垂直的本征矢量, 它们分别代表三种波的偏振方向。 射线传播的速度与方向就是能量传播的速度及方向，由群速度矢量f 来描述。 由能量密度及能流密度矢量的定义可以得到

u

τf ⋅-=E . (11.12) 其中E 为地震波能量密度, u τ ⋅-为能流密度矢量, 记为u τJ ⋅-=. 一个周期内的平均得

J f =E . (11.13)

在讨论能量时, 平面波应由(11.1)的实部来描述（请思考：为什么？）, 即

[])(cos ),(x s x ⋅-=t g t u i i ω (11.14)

能量密度w k E E E +=, k E 为地震波的动能密度, w E 为势能密度。 容易证明, 一个周期内的平均动能密度与势能密度相等, 即w k E E =。 由此得 k E E 2=. 由(11.14)可计算出平均动能密度

220

214

1

1

i T

i k g dt u

T

E ρωρ==

⎰

. (11.15) 2

2222

121g ρωρω==

i g E 。 (11.16) 由(11.14)可计算出能流密度矢量

j l k ijkl j ij i u u C u

J ,-=-=τ ))((sin 22m m j l k ijkl x s t g s g C -=ωω. (11.17)

一个周期内能流密度的平均值为

l k j ijkl j l k ijkl T

i i g s g C g s g C dt J T J 2202

1

211ωω===⎰。 (11.18)