地震学讲稿_11 各向异性介质中的平面波

图11.1 点源在各向异性介质中产生的波前面。

波前面法向射线方向偏振方向 第11章 各向异性介质中的平面波 介质中一点的物理性质如果与方向有关, 该介质被称为各向异性介质. 微观晶体的物性一般是各向异性的. 如果晶体的排列杂乱无章, 宏观上就会表现出各向同性. 地球介质的各向异性主要表现在地壳与上地幔, 以及地球的内核. 孔隙及微破裂的定向排列, 结晶体的优势方向排列都会表现出地震波速宏观各向异性. 各向异性介质中的地震波传播理论比各向同性的要复杂的多, 描述介质弹性性质的参数也多. 但是，地球介质的宏观各向异性给地震波传播造成的影响比较微弱, 大多数观测结果缺乏有力的各向异性证据. 随着地震观测仪器精度与动态范围、观测手段的提高，各向异性的研究越来越受到重视。

内核相对于地幔差速转动的发现就依赖于内核的各向异性模型。

首先我们看一个简单的例子，以此认识各向异性介质中波的复杂性。

假设介质是均匀各向异性的。

设地震波由一点发出，由于波向不同方向传播的相速度是不相同的，在特定的时间后形成的波前面（等相位面）不再是一个圆球，而是一个曲面。

如图(11.1)所示，射线的方向是能量传播的方向，能量传播的速度叫群速度。

波前面法向是相位传播的方向，也是波幔度方向，整个波前面是平面波等相位面的包络。

从图中可以看出，射线与波前面并不垂直，能量传播的方向、相位传播的方向以及波的偏振方向不在同一个方向，即使是P 波也可能如此。

11.1 相速度、群速度、偏振 我们用简谐平面波来演示上述特征。

设简谐平面波的位移形式为())(exp ),(x s g u ⋅--=t i t x ω，或写成分量形式())(exp ),(x s ⋅--=t i g t x u i i ω （11.1）其中波幔度矢量css ˆ=，c 为相速度，sˆ为幔度单位矢量（等相位面传播的方向），是给定的已知量。

相速度c 是与幔度单位矢量sˆ有关的待定量。

g 为位移偏振矢量，与坐标无关，是与幔度单位矢量s ˆ有关的待定矢量。

弹性动力学方程为jij i x t t u∂∂=),(),(x x τρ . （11.2）广义胡克定律klijklij x u C ∂∂=τ （11.3） 将（11.3）带入（11.2）得kj lijkl i x x u C t u∂∂∂=2),(x ρ。

（11.4） 将（11.1）带入（11.4）得l j k ijkl i g s s C g =ρ或写成0)(=-l il j k ijkl g s s C ρδ。

（11.5）由幔度矢量的定义，可把（11.5）写成0)ˆˆ(2=-l il j k ijkl g c s sC ρδ。

（11.6） 令j k ijklil s s C M ˆˆρ=，（11.6）可写成g g M 2c =⋅ （11.7）由(11.7)可知, 只要给定幔度矢量的方向sˆ, 相速度c 以及偏振矢量g 就是满足方程(11.7)的解。

方程(11.7)是求矩阵M 的本征值及本征矢量问题。

由于M 是实对称矩阵, 它一定存在三个相互正交的本征矢量, 而且相应的本征值为正的实数。

满足(11.7) g 的非零解条件是()0det 2=-I M c , (11.8)上式(11.8)即为本征值2c 所满足的方程。

为了表达(11.8)的涵义, 假设介质是各向同性的， 即)(jl ik jk il kl ij ijkl C δδδδμδλδ++=. (11.9)由此得 []il li il s sM μδμλρ++=ˆˆ)(1, 代入(11.8)得到[]0ˆˆ)(1det 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++il il l i c s sδμδμλρ. (11.10.) 由于本征值与本征矢量与坐标的选取没有关系(也就是坐标变换不会改变本征值与本征向量的解), 又由于介质是各向同性的, 坐标的旋转也不会改变介质参数的表达形式。

我们选取1x ˆ与给定的幔度单位矢量s ˆ重合, 即s x ˆˆ1=, 则 1ˆi i s δ=, 代入(11.10)得 000002222=---+c c c ρμρμρμλ. (11.11)即02222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+c c c ρμρμρμλ 由此推得相速度c 的一个解为ρμλ2+=c , P 波的速度. 另外两个解相同ρμ=c , S 波的速度。

对于P 波, 设g 为归一化的单位矢量, 即1232221=++g g g , 由(11.7)得到0,0,1321===g g g 。

即 sg ˆ=, 偏振方向与相位传播方向相同，这与已知的结果一致。

同样可以证明, 两个S 波的偏振方向相互垂直, 而且它们也与P 的偏振方向垂直。

对于一般的各向异性介质, 给定一个单位幔度矢量，本征值方程(11.8)有三个实根。

它们分别代表准P 波(qP )和两个准S 波(qS )的相位在此方向的传播速度。

由(11.7)能解出与本征值对应的三个相互垂直的本征矢量, 它们分别代表三种波的偏振方向。

射线传播的速度与方向就是能量传播的速度及方向，由群速度矢量f 来描述。

由能量密度及能流密度矢量的定义可以得到uτf ⋅-=E . (11.12) 其中E 为地震波能量密度, u τ ⋅-为能流密度矢量, 记为u τJ ⋅-=. 一个周期内的平均得J f =E . (11.13)在讨论能量时, 平面波应由(11.1)的实部来描述（请思考：为什么？）, 即[])(cos ),(x s x ⋅-=t g t u i i ω (11.14)能量密度w k E E E +=, k E 为地震波的动能密度, w E 为势能密度。

容易证明, 一个周期内的平均动能密度与势能密度相等, 即w k E E =。

由此得 k E E 2=. 由(11.14)可计算出平均动能密度22021411i Ti k g dt uTE ρωρ==⎰. (11.15) 22222121g ρωρω==i g E 。

(11.16) 由(11.14)可计算出能流密度矢量j l k ijkl j ij i u u C uJ ,-=-=τ ))((sin 22m m j l k ijkl x s t g s g C -=ωω. (11.17)一个周期内能流密度的平均值为l k j ijkl j l k ijkl Ti i g s g C g s g C dt J T J 22021211ωω===⎰。

(11.18)将(11.16)与(11.18)代入(11.13), 得l k j ijkl i g s g C f 2222121ωρω=g , l k j ijkli g s gC f ˆˆρ=. (11.19) 由(11.19)可知， 在各向异性介质中, 群速度方向(即能量传播的方向)可能与相位传播方向不同, 而且与偏正方向也不同。

11.2 横向各向同性介质中的平面波 以上我们已经感受到，地震波在各向异性介质中的传播会出现非常复杂的情况。

但地震波在横向各向同性介质中的传播理论相对要简单的多。

介质的物理性质关于某个轴旋转对称，介质的方向特性只与该方向与对称轴的夹角有关，这样的介质称为横向各向同性介质(transverse isotropy)。

横向各向同性介质有5个独立的弹性参数。

如图11.2所示，地震波的速度只与入射角θ有关，而与方位角φ无关。

跟各向同性介质一样，这种介质中的地震波分为两种类型，SV P/q q 及SH q ，在水平层状介质中这两种类型的波是相互解偶的。

下面我们以平面波的形式来探讨地震波在这种介质中传播的一些特性。

横向各向同性介质中有5个独立的弹性参数，它们分别用A, C, F, L, N 表示。

设坐标轴3x 与旋转对称轴重合, 则本构方程（广义胡克定律）为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===++=++-=+-+=2 2 2)()2( )2(232313131212332211333322112233221111Le Le Ne Ce e e F Fe Ae e N A Fe e N A Ae ττττττ. (11.2.1) 由kl ijkl ij e c =τ可推得11.2 在横向各向同性介质中，地震波的速度只与入射角θ有关，而与方位角φ无关。

⎪⎭⎪⎬⎫=====-====L c c N c F c c N A c C c A c c 232313131212223311331122333322221111,,2,, (11.2.1b)其他与上述无对称关系的弹性参数都等于零。

（习题： 给定5个弹性参数，根据(11.19)和（11.2.1b ）计算不同θ角的群速度矢量。

） 注意, 本构关系的分量表达形式与坐标的选择有关。

不同坐标系下的应力与应变可通过张量变换相互表达。

将(11.1.1)代入(11.2.1), 然后将位移表示的ij τ代入(11.1.2)得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧++++++=+++++-=++-+++= )ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ(323222123213132332223222112122331221123222112g C s L s L s g F L s s g F L s s g c g F L s s g L s A s N s g N A s sg c g F L s s g N A s s g L s N s A s g c ρρρ. (11.2.2) 写成本征矢量的形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-+-++3212321232221323132232221213121232221)ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ()(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆˆ(g g g c g g g C s L s L s F L s s F L s s F L s s L s A s N s N A s s F L s s N A s s L s N s A s ρ. (11.2.3) (11.2.3)实际上就是(11.1.7)在横向各向同性介质中的具体表达形式. 我们利用(11.2.2)来探讨横向各向同性介质中地震波传播的特性. (a) 一般解由于介质的特性关于轴3x 旋转对称, 可设平面波在31x x -平面内传播, 这时0ˆ2=s, 1ˆˆ2321=+s s ，(11.2.2)简化为⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++= )ˆˆ( )ˆˆ()(ˆˆ )(ˆˆ)ˆˆ(223212232321131323311232112g L s N s g c g C s L s g F L s s g c g F L s s g L s A s g c ρρρ. (11.2.4)上式可分为两组方程⎩⎨⎧+++=+++=)ˆˆ()(ˆˆ )(ˆˆ)ˆˆ(32321131323311232112g C s L s g F L s s g c g F L s sg L s A s g c ρρ. (11.2.5) )ˆˆ(2232122g L s N s g c +=ρ (11.2.6)(11.2.5)与(11.2.6)表明, 横向各向同性介质中的地震波可分为两种类型, 一类是由(11.2.5)描述的SV P/q q , 另一类是(11.2.6)描述的SH q 。