第14讲 圆的有关性质--尖子班

第14讲 圆的有关性质
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论
圆内接四边形的性质 知识点1 垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

②弧：
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ,读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如ACB .
小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。

同圆或者等圆的半径相同。

（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】
例1（2020•武汉模拟）小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．
A．350B．700C．800D．400
【解答】解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．
设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，
由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，
解得，x＝400，
∴2x＝800，
答：车轱辘的直径为800mm．
故选：C．
【方法总结】
此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径的计算的问题，常把半弦长，弦心距转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
例2（2019•怀柔区二模）如图，在O中，直径AB GH
⊥于点M，N为直径上一点，且=，过N作弦CD，EF．则弦AB，CD，EF，GH中最短的是___________．OM ON
【解答】解：如图连接OG，OE，过点O作OH EF
⊥于H，
显然，ON OH
>
OM ON =，
OM OH ∴>，
EH =，
2EF EH ∴==，
GM
2GH GM ∴==
OG OE =，OM OH >，
GH EF ∴<，
同理，GH CD <， AB 为直径，
CD AB ∴<，
∴弦AB ，CD ，EF ，GH 中最短的是GH ，
故答案为GH ．
【方法总结】
本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理和勾股定理解得即可．
【随堂练习】
1．（2019•鹿城区校级二模）如图，AB 是半圆O 的直径，12AB =，AC 为弦，OD AC ⊥于D ，//OE AC 交半圆O 于点E ，EF AB ⊥于F ，若3BF =，则AC 的长为________．
【解答】解：AB 是半圆O 的直径，12AB =，
6OB OA ∴==，
3BF =，
3OF OB BF ∴=-=，
OD AC ⊥，
AD CD ∴=，
OD AC ⊥，EF AB ⊥，
90ADO OFE ∴∠=∠=︒，
//OE AC ，
DAO EOF ∴∠=∠，
在ADO ∆和OFE ∆中，ADO EFO DAO FOE
OA OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ADO OFE AAS ∴∆≅∆，
1AD OF ∴==，
26AC AD ∴==；
故答案为：6．
2．（2019•嘉兴）如图，在O 中，弦1AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为__________．
【解答】解：连接OD ，如图，
CD OC ⊥，
90COD ∴∠=︒，
CD ∴
当OC 的值最小时，CD 的值最大，
而OC AB ⊥时，OC 最小，此时OC =
CD ∴1111222
AB ==⨯=， 故答案为：12
． 3．（2019•淄川区一模）如图，AB 是O 的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆周上滑动，始终与AB 相交．记点A ，B 到MN 的距离分别为1h ，2h ，则12||h h -等于__________．
【解答】解：设AB 、NM 交于H ，作OD MN ⊥于D ，连接ON ． AB 是O 的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，
4DN DM ∴==，
5ON =，
3OD ∴=．
BE MN ⊥，AF MN ⊥，OD MN ⊥，
////BE OD AF ∴，
AFH ODH BEH ∴∆∆∆∽∽， ∴5AF AH OH OD OH OH
-==，即53AF OH OH -=， 5BE HB OH OD OH OH +==，即53BE OH OH
+=， ∴1()23
AF BE -=-， 12||||6h h AF BE ∴-=-=．
故答案为：6．
4．（2019•呼和浩特模拟）如图，BD 是O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形
ABC ∆，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中12BC =，8OA =，
则BD 的长为_________．
【解答】解：过O 作OE BC ⊥于E ，由垂径定理得：2BD BE =．
ABC ∆是等边三角形，12BC =，
60ACB ∴∠=︒，12AC BC ==，
8OA =，
1284OC ∴=-=，30COE ∠=︒，
122
CE OC ∴==， 12210BE ∴=-=，
即220BD BE ==，
故答案为20．
知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。

（3）直径所对的圆周角是直角。

【典例】
例1 （2020•包河区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且＝，连接OA、OF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴＝，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；．
（2）∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OF A＝（180°﹣3x），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180°﹣3x）＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠ABC＝4x＝80°．
【方法总结】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，菱形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，属于中考常考题型．
例2 （2020•淮南二模）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
【方法总结】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活应用性质定理是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020•凉山州一模）如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．
2．（2020•武汉模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AD＝BC．
3．（2020•武汉模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
【解答】（1）证明：连AM，AN，
∵＝，＝，
∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，
∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD．
（2 ）解：连AO，OM交AB于E，设PE＝x，
∵＝，
∴OM⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2
∴52﹣（x+3）2＝（）2﹣x2，
∴x＝1，
∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，
∴MP＝＝＝．
4．（2020•温州模拟）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD 交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠BAC，
在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
又C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠CDB，
∴∠BCE＝∠DBC，
∴CF＝BF．
（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：
∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∵C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AD＝3，
∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．
知识点3 圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
例1 （2020•莆田二模）如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，弦DH⊥AB于点E，交弦BC于点F，AD交BC于点G，连接BD，求证：F是BG的中点．
【解答】证明：∵AB是直径，AB⊥DH，
∴＝，
∵D是的中点，
∴＝＝，
∴∠CBD＝∠HDB，
∴FB＝FD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠FDG+∠FDB＝90°，∠FGD+∠FBD＝90°，
∴∠FDG＝∠FGD，
∴FD＝FG，
∴FG＝FB，即点F是BG的中点．
【方法总结】
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例2（2020•江阴市一模）如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．（1）求⊙O的面积；
（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，直接写出CD的长为__________．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴⊙O的面积＝π×52＝25π．
（2）作直径DD′⊥AB，BH⊥CD于H，如图，则＝，
∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴DB＝AB＝5，
易得△BCH为等腰直角三角形，
∴CH＝BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，DH＝＝＝4，
∴CD＝CH+DH＝3+4＝7，
∵DD′是⊙O的直径，
∴∠DCD′＝90°，
∴CD′＝＝＝，
综上所述，CD的长为或7．
【方法总结】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理．
【随堂练习】
1．（2019•南开区一模）已知：如图1，在O中，直径4
AB=，2
CD=，直线AD，BC相交于点E．
（1）E
∠的度数为________；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求E
∠的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求AEC
∠的度数．
【解答】解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，
===
2
OD OC CD
∴∆为等边三角形，
DOC
∴∠=︒
60
DOC
∴∠=︒
DBC
30
∴∠=︒
30
EBD
AB为直径，
∴∠=︒
ADB
90
00
E
∴∠=︒-=
903060
60；
∠的度数为0
E
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．
===，
OD OC CD
2
∴∆为等边三角形，
DOC
∴∠=︒，
DOC
60
DAC
∴∠=︒，
30
∴∠=︒，
EBD
30
AB为直径，
∴∠=︒，
90
ACB
∴∠=︒-︒=︒，
E
903060
（3）如图3，连结OD，OC，
2
===，
OD OC CD
∴∆为等边三角形，
DOC
∴∠=︒，
60
DOC
∴∠=︒，
CBD
30
∴∠=︒，
90
ADB
∴∠=︒，
BED
60
∴∠=︒．
60
AEC
2．（2020•九江一模）在⊙O中，AB是非直径弦，弦CD⊥AB，
（1）当CD经过圆心时（如图①），∠AOC+∠DOB＝________；
（2）当CD不经过圆心时（如图②），∠AOC+∠DOB的度数与（1）的情况相同吗？试
说明你的理由．
【解答】解：（1）当CD经过圆心时，CD是直径，
∵CD⊥AB，
∴，，
∴∠AOC＝∠BOC，∠AOD＝∠DOB，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC+∠DOB＝180°；
故答案为：180°；
（2）相同，理由如下：
连接BC，如图②：
∵∠AOC＝2∠CBA，∠DOB＝2∠BCD，
∴∠AOC+∠DOB＝2（∠CBA+∠BCD）
又∵AB⊥CD，
∴∠CBA+∠BCD＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝2×90°＝180°．
3．（2020•浙江自主招生）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一个动点，点D是劣弧的中点，射线OD上存在一点E，使得OE＝AC，在AB的延长线上找一点F，连结FE并延长，分别交直线AC，OC于点G，H．
（1）连结CE，判断CE与AB的位置关系与数量关系，并说明理由；
（2）设HG＝x，GF＝y，若HE＝5，求y与x的函数解析式．
【解答】解：（1）CE∥AB，CE＝AB，理由如下：
∵点D是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠COD＝∠BOD＝BOC，
∵∠A＝BOC，
∴∠BOD＝∠A，
∴AC∥OE，
∵AC＝OE，
∴四边形AECO是平行四边形，
∴CE∥AO，CE＝AO，
∵AO＝AB，
∴CE＝AB，
∴CE∥AB，CE＝AB．
（2）∵AC∥OE，CE∥AO，
∴＝，＝，
∴＝，即HE2＝HG•HF，
∵HG＝x，GF＝y，HE＝5，
∴52＝x（x+y），
∴y＝．
∴y与x的函数解析式为y＝．
知识点4 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
例1 （2020•永嘉县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
【解答】（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
【方法总结】
主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【随堂练习】
1．（2020•硚口区二模）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，＝，D为⊙O上的一点，∠ABC＝∠ODC＝67.5°，CO的延长线交AB于P，若CD＝2，则BP的值为（）
A．2B．2C．2D．4
【解答】解：连接AC、OB，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，
∴∠DOC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴OC＝BC，
∵∠BCP＝∠COD＝45°，∠PBC＝∠OCD＝67.5°，
∴△CPB∽△ODC，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝2，
故选：B．
2．（2019•蓝田县一模）如图，点A、B、C、D在O上，CB CD
=，30
∠=︒，
ACD
CAD
∠=︒，50
则(
∠=)
ADB
A．30︒B．50︒C．70︒D．80︒
【解答】解：CB CD
=，30
CAD
∠=︒，
CAD CAB
∴∠=∠=︒，
30
∴∠=∠=︒，
DBC DAC
30
∠=︒，
50
ACD
∴∠=︒，
50
ABD
18018050303070ACB ADB CAB ABC ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
3．（2019•周村区一模）如图，四边形ABCD 内接于O ，9AB =，15AD =，120BCD ∠=︒，弦AC 平分BAD ∠，则AC 的长是( )
A
．B
．C ．12 D ．13
【解答】解：
过C 作CE AD ⊥于E ，CF AB ⊥交AB 延长线于F ，则90BFC DEC ∠=∠=︒， AC 平分BAD ∠，
CF CE ∴=，
由勾股定理得：222AF AC CF =-，222AE AC CE =-，
AF AE ∴=， A 、B 、C 、D 四点共圆，
FBC D ∴∠=∠，180BAD BCD ∠+∠=︒，
120BCD ∠=︒，
60BAD ∴∠=︒， AC 平分BAD ∠，
30BAC DAC ∴∠=∠=︒，
在FBC ∆和DEC ∆中
FBC D BFC DEC CF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()FBC DEC AAS ∴∆≅∆，
BF DE
∴=，
AB=，15
AD=，
9
∴+=++-=++-=+=，
AF AE AB BF AD DE BF DE
91591524
AF AE
∴==，
12
AFC
∠=︒，90
∠=︒，
BAC
30
∴=，
AC CF
2
222
∴+=，
CF CF
12(2)
解得：CF=，
∴==
2
AC CF
故选：B．
4．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，
∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
综合运用：圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。

【解析】解：如图，设EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4cm，
设OF=x cm，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5cm
答：球的半径为2.5cm。

2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。

【解析】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
答：圆的半径长为5。

（2）如图，连接BC，
∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
答：BE长为2。

3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。

【解析】解：如图，连接OB，
设⊙O的半径为r，则Rt△AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由勾股定理得：OB²=OA²+AB²，即：r²=（5-r）²+3²，解得：r=3.4cm。

答：⊙O的半径为3.4cm。

4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。

【解析】解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：
由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO=BC=6、FC=CD=，
∴OF===，
则E′F=OE′+OF=6+=
答：EF的最大值为。

5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD 平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴AC==6（cm），
∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=5（cm）；
答：AC长6cm；BD长5cm。

（2）四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积
=×6×8+×5×5=49（cm2）．
答;四边形ADBC的面积为49cm2 。

6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1：
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．。