5第五讲刚体

第五讲刚体
1.刚体
在无论多大的外力作用下，总保持其形状和大小不变的物体称为刚体．刚体是一种理想化模型，
2.刚体的平动和转动
刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同的，这种运动叫做平动．
如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫做转动，而所绕的直线叫做转轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动．
3.质心质心运动定律
质心这是一个等效意义的概念，即对于任何一个刚体（或质点系），总可以找到一点Ｃ，它的运动就代表整个刚体（或质点系）的平动，它的运动规律就等效于将刚体（或质点系）的质量集中在点Ｃ，刚体（或质点系）所受外力也全部作用在点Ｃ时，这个点叫做质心．质心运动定律物体受外力F作用时，其质心的加速度为ａＣ，则必有Ｆ＝ｍａＣ，这就是质心运动定律，
4.刚体的转动惯量Ｊ
刚体的转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量ｍｉ与该质点到转轴的距离ｒｉ的平方的乘积的总和，即
Ｊ＝ｍｉｒｉ２．
从转动惯量的定义式可知，刚体的转动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况．我们可以利用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量．
5.描述转动状态的物理量
对应于平动状态参量的速度ｖ、加速度ａ、动量ｐ＝ｍｖ、动能Ｅｋ＝（1／2）ｍｖ２；描述刚体定轴转动状态的物理量有：
角速度ω角速度的定义为ω＝Δθ／Δｔ．在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处的线速度与角速度之间的关系为ｖ＝ｒω．
角加速度角加速度的定义为α＝Δω／Δｔ．在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处的线加速度与角加速度的关系为ａｔ＝ｒα．
角动量Ｌ角动量也叫做动量矩，物体对定轴转动时，在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处某质量为ｍ的质点的角动量大小是ｍｖｒ＝ｍｒ２ω，各质点角动量的总和即为物体的角动量，即
Ｌ＝ｍｉｖｉｒｉ＝（ｍｉｒｉ２）ω＝Ｊω．
转动动能Ｅｋ当刚体做转动时，各质点具有共同的角速度ω及不同的线速度ｖ，若第ｉ个质点质量为ｍｉ，离转轴垂直距离为ｒｉ，则其转动动能为（1／2）ｍｉｖｉ２＝（1／2）ｍｉｒｉ２ω２，整个刚体因转动而具有的动能为所有质点的转动动能的总和，即
Ｅｋ＝（1／2）（ｍｉｒｉ２）ω２＝（1／2）Ｊω２．
6.力矩Ｍ力矩的功Ｗ冲量矩Ｉ
力矩是改变刚体转动状态、使刚体获得角加速度的原因． 力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩，即 Ｍ＝Ｆｄ．
力矩的作用对角位移的累积叫做力矩的功．
恒力矩Ｍ的作用使刚体转过θ角时，力矩所做的功为力矩和角位移的乘积，即W ＝Ｍθ． 与冲量是力的作用对时间的累积相似，力矩的作用对时间的累积叫做冲量矩， 冲量矩定义为力矩乘以力矩作用的时间，即Ｉ＝ＭΔｔ． 7.刚体绕定轴转动的基本规律
转动定理 刚体在合外力矩Ｍ的作用下，所获得的角加速度与合外力矩大小成正比，与转动惯量Ｊ成反比，即
Ｍ＝Ｊα．如同质点运动的牛顿第二定律可表述为动量形式，转动
定理的角动量表述形式是
Ｍ＝ΔＬ／Δｔ．
转动动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，即
Ｗ＝（1／2）Ｊω１２－（1／2）Ｊω０２
．
该定理揭示了力矩作用对角位移的积累效应是改变刚体的转动动能．
角动量定理 转动物体所受的冲量矩等于该物体在这段时间内角动量的增量，即 ＭΔｔ＝Ｌ１－Ｌ０＝Ｊωｔ－Ｊω０．
该定理体现了力矩作用的时间积累效应是改变刚体转动中的动量矩．
质点的直线运动 刚体的定轴转动
牛顿第二定律 Ｆ＝ｍａ 转动定理 Ｍ＝Ｊα 动量定理
Ｆｔ＝ｍｖｔ－ｍｖ０（恒力）
角动量定理 Ｍｔ＝Ｊωｔ－Ｊω０ 动能定理
Ｆｓ＝（1／2）ｍｖｔ２
－（1／2）ｍｖ０２
转动动能定理
Ｍθ＝（1／2）Ｊωｔ２
－（1／2）Ｊω０２
动量守恒定律 ｍｖ＝常量
角动量守恒定律
Ｊω＝常量
1．地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量大小为 （A ）R
GMm
R G Mm R GMm GMR m 2
(D) (C)
(B) （ ）
2．用一根穿过竖直空管的轻绳系一小物体m ，一只手握住管子，另一只手拉绳子的一端，使物体以角速度1ω作半径为1r 的水平圆周运动，然后拉紧绳子使轨道半径缩小到2r ，则这时的角速度2ω与原角速度1ω的关系为
（A ）21212211(/) (B) (/)r r r r ωωωω==
（C ）1212212212)/( (D) )/(ωωωωr r r r == （ ）
3．有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀，它们对通过环心与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 、B J ，则
（A ）B A B A J J J J (B)
（C ）B A J J = （D ）不能确定A J 、B J 哪个大 （ ） 4．两个匀质圆盘A 和B 的质量密度分别为B A ρρ和，若B A ρρ
，但两盘的质量和
厚度相同，如两圆盘对通过盘心垂直盘面的轴的转动惯量各为B A J J 和，则
（A ）B A B A J J J J (B)
（C ）B A J J = （D ）不能确定哪个大 （ ）
5．一金属链条与一半径为5.0cm 、转速为2.5 rev/s 的齿轮啮合，则此链条在1分钟内运动的直线距离为：
（A ）m m m rad π300 (D) 4700 (C) 1.47 (B)
47 （ ）
6．几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此
刚体
（A ）必然不会转动； （B ）转速必然不变；
（C ）转速必然改变； （D ）转速可能不变，也可能改变。

（ ）
7．如图所示，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F =Mg ，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为A β、B β，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速度的大小比较是：
（A ）B A ββ= （B ）B A ββ>
（C ）B A ββ<
（D ）无法比较 M F （ ）
8．一转动体的转动惯量2
3
100.5m kg J ⋅⨯=-，欲使它产生一角加速度-2
1.2rad s
β=，则施加的转动力矩M 为：
A
B
（A ）m N m N ⋅⨯⋅⨯--33100.6 (B) 102.4
（C ）242100.6 (D) 100.6---⋅⨯⋅⨯m N m N （ ）
9．一水平圆盘可绕固定铅直中心轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状态，忽略轴的摩擦，当此人在盘上随意走动时，此系统
（A ）动量守恒 （B ）机械能守恒 （C ）对中心轴的角动量守恒 （D ）动量、机械能和角动量都守恒 （E ）动量、机械能和角动量都不守恒 （ ）
10．花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为0J ，角速度为0ω，然后她将两臂收回，使转动惯量减少为
03
1
J 。

这时她转动的角速度变为( ) （A ）00)3/1( (B)
3
1ωω （C ）003 (D) 3ωω （ ）
11．光滑的水平桌面上有一长为2L ，质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，开始杆静止，桌上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向运动，如图所示，当两球同时与杆的两端发生完全非弹性碰撞，则碰后杆的转动角速度为：
（A ）L v L v 54 (B) 32 v （C ）L
v L v 98 (D) 76 v L o L （ ）
12.一质点作匀速率圆周运动时， ( ) （Ａ）它的动量不变，对圆心的角动量也不变． （Ｂ）它的动量不变，对圆心的角动量不断改变．
（Ｃ）它的动量不断改变，对圆心的角动量不变． （Ｄ）它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变．
13.多个力作用在有固定转轴的刚体上，这些力的矢量和为零，则刚体绕该轴转动的角速度将
（A ）保持不变 （B ）变大
（C ）变小 （D ）无法确定 ［ ］
14.长为l 质量为M 的均匀细杆，竖直悬挂在光滑的水平轴上（轴过杆的上部端点），质量为m 的子弹以速度0v 水平射向细杆的下端。

设在下面三种情况下杆能够达到的最大摆角分别是a θ、b θ、c θ：（a ）子弹陷入杆内 ；（b ）子弹失去水平速度而自由下落 ；（c ）子弹与细杆作完全弹性碰撞后反向折回。

判断下面结论中哪个结果是正确的？
（A ）b θ=b θ=c θ （B ）a b c θθθ>>
（C ）a b c θθθ<< （D ）无法确定 ［ ］
15. 如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为2
13
ML 。

一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为1
2
v ，则此时棒的角速度应为（2003级上考题）
(A)mv ML (B)ML
mv 23
(C)ML
mv 35 (D)ML mv
47
16. 一水平放置的直杆，质量为m ，长度为L ，绕其一端作匀速率转动（转动惯量21
3
mL ），
外端点线速度为v ，则杆的动能为( )
（A ）212mv （B ）214mv （C ）216mv （D ）21
8
mv
17．假设某卫星环绕地球中心作椭圆轨道运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( ) A. 角动量守恒，动能守恒 B. 角动量守恒，机械能守恒 C. 角动量不守恒，机械能守恒 D. 角动量不守恒，动量守恒
1Ａ 2Ｃ3C 4B 5B 6D 7C 8B 9C 10C 11C 12C 13A 14C 15B 16C 17B
·
12
v v。