第十讲含参变量的积分

第十讲含参变量的积分
10 . 1 含参变量积分的基本概念
含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义
设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．
()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数
()()[]b a x dy y x f x I d
c
,,,∈=⎰
为含参量二的正常积分．
一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称
()()()
()
[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰
为含参量x 的正常积分．
同样可定义含参量 y 的积分为
()()[]d c y dx y x f y J b
a
,,,∈=⎰或()()()
()
[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰
2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）
( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()(
)
()
⎰=
→000
,lim 0x d x c x x dy y x f x I
( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有
()()()⎰
⎰⎰⎰⎰==b
a
b a
d c
b
a
d
c
dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·
( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()
()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x
c x
'
'
'
,,,-+=
⎰·
以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，
例10. l 求积分⎰>>-⎪
⎭⎫ ⎝⎛1
0,ln 1ln sin a b dx x
x
x x a
b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1
00,ln 1ln sin a b dx x x
x x b I a
b ，
()()()
()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dx
x x b I b b b b b b b '
2
2101012
1
1
021
0101
01
11
'
11111ln sin |1ln cos 111ln cos 11
1ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++
所以()()
()()
()⎰
++=++=⇒++=
C b db b b I b b I 1arctan
1
11
1
11
2
2
'
，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan
0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan
+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为
x
x x dy x a
b b
a
y
ln -=⎰
，所以
⎰⎰⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010
1ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I
同解法
()⎰++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛1
021
111ln sin y dx x x y
，所以有 ()
()()⎰
+-+=++=b
a
a b dy y I 1arctan 1arctan
1
11
2
注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，
但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xy
y
x ⎰-=
,，其中f 为可微函数，求()y x F xy
,·
解：
()()
()()()()
()()()
()
()()()()
()
()
()()
()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xy
y
x xy
y
x xy
y x x '
2222'222222213213111-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
-=-+-+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--
-+=⎰⎰⎰
二、含参量的广义积分
含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分
1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,
()()[]⎰
+∞
∈=c
b a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛）
，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰
+∞
∈=a
d c y dx y x f y J ,,,
2 ．一致收敛
若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有
()()()εε<<-⎰
⎰+∞
A
A c
dy y x f dy y x f x I ,,或
则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．
注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得
()()()000000
,,εε<<-⎰
⎰
+∞
A A c
dy y x f dy y x f x I 或
3 ．一致收敛的柯西准则
含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有
()ε<⎰
2
1
,A A dy y x f
注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得
()002
1
,ε<⎰
A A dy y x f
4.一致收敛判别法
( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而
()⎰
+∞
c
dy y g 收敛，则()⎰
+∞
c
dy y x f ,在
[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .
( 2 ）阿贝尔判别法： ①
()⎰
+∞
c
dy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，
()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰
+∞c
dy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．
( 3 ）狄利克雷判别法： ①
()[]()c A b a x M dy
y x f A
c
>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;
② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，
则积分
()()⎰
+∞
c
dy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·
例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）
()
⎰∞
++-1
2
2
2
2
2dx y x
x y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞
-+∞∈0
,0,sin y dx x
x
e xy 解： ( 1 ）因为
()
()
()()+∞∞-∈∀≤+=
++≤+-,1
12
222
2
2
2
22
2
2
2
2y x
y x y x
y x y x
x y ，而积分 ⎰
+∞
1
21
dx x 收敛，由M 发，()
⎰∞++-12222
2dx y
x x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·
( 2 )因为
⎰
+∞
sin dx x
x
收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xy
e ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分
⎰
+∞
-0
sin dx x
x
e xy
在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质
( l ）连续性：若满足：
① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰
+∞
∈=
c
b a x dy y x f x I ,,,一致收敛；
则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I c
x x ⎰
+∞
→==,lim 000
·
( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰
+∞
∈=
c
b a x dy y x f x I ,,,一致收敛；
则()x I 在[]b a ,上可积，即
()()()⎰
⎰⎰⎰
⎰+∞+∞
==b
a
b
a
c
c
b a
dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,
参量[)+∞∈,a x ，若满足：
① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②
()[]()c d d c y dy y x f a
>∀∈⎰
+∞
,,,和
()[]()a b b a x dy y x f c
>∀∈⎰
+∞
,,,都一致收敛；
③ 积分
()⎰
⎰
+∞
+∞
a
c
dy y x f dx ,与()⎰⎰
+∞+∞
c
a
dx y x f dx ,收敛；
则()x I 在[]b a ,上收敛，且
()()dx y x f dy dy y x f dx a
c
c
a
⎰
⎰⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
+∞
=,,
( 3 ）可微性：若满足：
①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c
,,,∈=⎰
+∞
收敛；
③
()[]b a x dy y x f c
x ,,,∈⎰
+∞
一致收敛；
则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I c
x ,,,'
∈=
⎰
+∞
注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理
若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则
()()dy y x f x I c
⎰
+∞
=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．
证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c
,,,∈=
⎰
+∞
不一致收敛，由定义，00>∃ε，对c
M >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰
A c
dy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的
自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰
n
A c
n n dy y x f x I · 注意到
f 非负，可写作()()0,ε≥-
⎰
n
A c
n n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，
则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞
→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有
()()()()⎰
⎰
≥-≥-1
0,,n nk
A c
A c
nk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）
由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1
,n A c
dy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令
∞→k 取极限得()()()00001
,ε≥-=⎰
dy y x f x I x F n A c
．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛
盾，即()()[]⎰
+∞
∈=
c
b a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·
（二）含参量的瑕积分 1 ．定义
设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分
()()[]⎰∈=d
c
b a x dy y x f x I ,,,
收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．
2 一致收敛
对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有
()εη
<⎰
+c c
dy y x f ,，对一切
[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I d
c
⎰=,在[]b a ,上一致收敛．
3.M 判别法
设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而
()dy y g d c
⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I d
c
,,,∈=⎰必一致收敛
其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。