构造全等三角形(常见辅助线法)
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证明: 延长AE，交直线PQ于点F。
M
DA
N
34
E
21
22
1
3
2
5
0 *
PB
F CQ
**
学海无涯Hale Waihona Puke Baidu
teachermyh@163.com
学海无涯
Ⅴ.“周长问题”的转化 teachermyh@163.com 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
1 2
∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证）
（平角定义）
3 ∴DF=AD（等量代换） * ∴∠4=∠F（等边对等角）
∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换）学海无涯
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的teac角herm平yh@分163线.com，
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。
*
∴∠4=∠C（等边对等角）
∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°
（等量代换）学海无涯
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BtDeac是hermyh@163.com
∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明: 延∠长A+BA∠到CF=，1使80B°F=BC，连结DF。
F
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
A
在△ABD和△EBD中
D
∵ AB=EB（已知）
∠1=∠2（已证）
1 2
34
BD=BD（公共边）
B
EC
∴△ABD≌△EBD（S.A.S）
∵ ∠3+ ∠4＝180°
∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） （平角定义），
AD=DE（全等三角形的对应边相等）
1
2 ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） 3 ∴DE=DC（等量代换）
必有结论： △ABD≌△ECD，
B
D
2C
∠1=∠E，∠B=∠2，
EC=AB，CE∥AB。
E
学海无涯
已知，如图AD是△ABC的中线， teachermyh@163.com
求证：AD 1 ( AB AC) 2
倍
A
延长AD到点E，使DE=AD，
长
连结CE.
中
B D
C线
思考：若AB=3,AC=5
求AD的取值范围？
连接BD
A
C
构造全等三角形
D
B
学海无涯
teachermyh@163.com
学海无涯
teachermyh@163.com
如何利用三角形的中线来构造全等三角形？
可以利用倍长中线法，即把中线
延长一倍，来构造全等三角形。
A
如图，若AD为△ABC的中线，
1
延长AD到E，使DE=AD， 连结BE（也可连结CE）。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
在△AED和△ACD中
E3
∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证）
4
B
D
C
AD=AD（公共边）
∴△AED≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠4（等边对等角）
∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
学海无涯
Ⅴ.“周长问题”的转化 teachermyh@163.com 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
E
学海无涯
teachermyh@163.com
学海无涯
截长 补短
teachermyh@163.com
已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC，连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
学海无涯
如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠tea2che，rmyh@163.com ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
ED=CD（全等三角形的对应边相等） （三角形的一个外角等于
1 又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知）
2 *
∴EB=DC=ED（等量代换）
和它不相邻的两个内角和） ∴∠C=2∠B（等量代换）
学海无涯
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的teac角herm平yh@分163线.com，
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
D
1 2
A
E C截 长
4 3
补
F
B短
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
学海无涯
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BtDeac是hermyh@163.com ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明：在∠BAC+上∠截C取=1B8E，0°使BE=AB，连结DE。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
A 4
在△BFD和△BCD中
3
D
∵ BF=BC（已知）
∠1=∠2（已证）
1 2
BD=BD（公共边）
B
C
∴△BFD≌△BCD（S.A.S）
∵ ∠F＝∠C（已证）
∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等） ∴∠4=∠C（等量代换）
DF=DC（全等三角形的对应边相等） ∵ ∠3+ ∠4＝180°
1
∴△ABD≌△AFD（S.A.S） ∴ ∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）
的一个外角等于和它不相 邻的两个内角和）
2
∵ CF=CD（已知）
∴∠ACB=2∠B（等量代换）
*
∴∠B=∠3（等边对等角）
学海无涯
如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BteaAcheNrmyh、@16B3.cEom 平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D， 交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。
EF
M
A
N
DB
teachermyh@163.com
学海无涯
如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠Dtea.chermyh@163.com
B
连
线
A
C
D
构
连接AC
造
构造全等三角形
全
等
学海无涯
连线 构造全等teachermyh@163.com
如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
证明: 延长AC到F，使CF=CD，连结DF。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
∵ AB=AC+CD，CF=CD（已知）
∴ AB=AC+CF=AF（等量代换）
在△ABD和△AFD中
B
D3 C
∵ AB=AF（已证）
∠1=∠2（已证）
F
AD=AD（公共边）
∵ ∠ACB= 2∠F（三角形
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3
2
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0 *
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F CQ
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学海无涯Hale Waihona Puke Baidu
teachermyh@163.com
学海无涯
Ⅴ.“周长问题”的转化 teachermyh@163.com 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
1 2
∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证）
（平角定义）
3 ∴DF=AD（等量代换） * ∴∠4=∠F（等边对等角）
∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换）学海无涯
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的teac角herm平yh@分163线.com，
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。
*
∴∠4=∠C（等边对等角）
∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°
（等量代换）学海无涯
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BtDeac是hermyh@163.com
∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明: 延∠长A+BA∠到CF=，1使80B°F=BC，连结DF。
F
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
A
在△ABD和△EBD中
D
∵ AB=EB（已知）
∠1=∠2（已证）
1 2
34
BD=BD（公共边）
B
EC
∴△ABD≌△EBD（S.A.S）
∵ ∠3+ ∠4＝180°
∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） （平角定义），
AD=DE（全等三角形的对应边相等）
1
2 ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） 3 ∴DE=DC（等量代换）
必有结论： △ABD≌△ECD，
B
D
2C
∠1=∠E，∠B=∠2，
EC=AB，CE∥AB。
E
学海无涯
已知，如图AD是△ABC的中线， teachermyh@163.com
求证：AD 1 ( AB AC) 2
倍
A
延长AD到点E，使DE=AD，
长
连结CE.
中
B D
C线
思考：若AB=3,AC=5
求AD的取值范围？
连接BD
A
C
构造全等三角形
D
B
学海无涯
teachermyh@163.com
学海无涯
teachermyh@163.com
如何利用三角形的中线来构造全等三角形？
可以利用倍长中线法，即把中线
延长一倍，来构造全等三角形。
A
如图，若AD为△ABC的中线，
1
延长AD到E，使DE=AD， 连结BE（也可连结CE）。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
在△AED和△ACD中
E3
∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证）
4
B
D
C
AD=AD（公共边）
∴△AED≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠4（等边对等角）
∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
学海无涯
Ⅴ.“周长问题”的转化 teachermyh@163.com 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
E
学海无涯
teachermyh@163.com
学海无涯
截长 补短
teachermyh@163.com
已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC，连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
学海无涯
如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠tea2che，rmyh@163.com ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
ED=CD（全等三角形的对应边相等） （三角形的一个外角等于
1 又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知）
2 *
∴EB=DC=ED（等量代换）
和它不相邻的两个内角和） ∴∠C=2∠B（等量代换）
学海无涯
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的teac角herm平yh@分163线.com，
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
D
1 2
A
E C截 长
4 3
补
F
B短
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
学海无涯
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BtDeac是hermyh@163.com ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明：在∠BAC+上∠截C取=1B8E，0°使BE=AB，连结DE。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
A 4
在△BFD和△BCD中
3
D
∵ BF=BC（已知）
∠1=∠2（已证）
1 2
BD=BD（公共边）
B
C
∴△BFD≌△BCD（S.A.S）
∵ ∠F＝∠C（已证）
∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等） ∴∠4=∠C（等量代换）
DF=DC（全等三角形的对应边相等） ∵ ∠3+ ∠4＝180°
1
∴△ABD≌△AFD（S.A.S） ∴ ∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）
的一个外角等于和它不相 邻的两个内角和）
2
∵ CF=CD（已知）
∴∠ACB=2∠B（等量代换）
*
∴∠B=∠3（等边对等角）
学海无涯
如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BteaAcheNrmyh、@16B3.cEom 平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D， 交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。
EF
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DB
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学海无涯
如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠Dtea.chermyh@163.com
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连
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A
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构
连接AC
造
构造全等三角形
全
等
学海无涯
连线 构造全等teachermyh@163.com
如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
证明: 延长AC到F，使CF=CD，连结DF。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
∵ AB=AC+CD，CF=CD（已知）
∴ AB=AC+CF=AF（等量代换）
在△ABD和△AFD中
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∵ AB=AF（已证）
∠1=∠2（已证）
F
AD=AD（公共边）
∵ ∠ACB= 2∠F（三角形