矩阵分析课件chapter1线性空间和线性变换例题详解

矩阵是什么？

矩阵是线性映射的表示：

线性映射的相加表示为矩阵的相加

线性映射的复合表示为矩阵的相乘

矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。

定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji

也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),

还可以定义为：Ax=f(x), 其中f(x)=x T Bx/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。

第一章：线性空间和线性变换

1.线性空间

集合与映射

集合是现代数学的最重要的概念，但没有严格的定义。

集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合

的补；集合中元素没有重合，子集，元素

映射：为一个规则：S S', 使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'=(a),或：a a'.

映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。

映射的原象，象；映射的复合。满射,单射,一一映射。

若S'和S相同，则称为变换。

若S'为数域，则称为函数。

线性空间的定义和性质

定义1.1设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示，如果V满足下列条件

(I)在V中定义一个加法运算，即当V

x,时，有惟一的

∈

y

x，且加法运算满足下列性质

+y

∈

V

(1)结合律;

+

x+

=

+

+

y

)

(

z

(z

)

y

x

(2)交换律;x

+

=

y

y

x+

(3)存在零元素0，使x+0=x；

(4)存在负元素，即对任何一向量x V ,存在向量y，使

x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x，于是有

x+(-x) = 0

(II)在V中定义数乘运算，即当x V, k K,有唯一的k x V, 且数乘运算满足下列性质

（5）数因子分配律k(x+y)=k x+k y ;

(6) 分配律（k+l）x= k x+l x ;

(7) 结合律k(l x)=(k l ) x ;

(8) 1 x = x

则称V为数域K上的线性空间或向量空间。

特别地，当K为实数域R时，则称V为实线性空间；

当K为复数域C时，则称V为复线性(酉)空间。

例：次数不超过n1的多项式P n全体按照通常的多项式加法和数乘构成一个线性的多项式函数空间；

即：f(x)=a0x n1+a1x n2+…+a n2x+a n1

g(x)=b0x n1+b1x n2+…+b n2x+b n1

定义f(x)g(x)=f(x)+g(x),

k f(x)=(k a0)x n1+(k a1)x n2+…+(k a n2)x+k a n1

n维实向量的全体按照通常的向量加法和数乘构成一个实线性空间,我们把这个空间称为实向量空间；

即：x, y R n，定义：(x y)i=x i+y i ,(k x)i=k x i

所有m n实矩阵的全体按照通常的矩阵加法和数乘构成一个实线性空间，称之为矩阵空间；

由例如，取V=R, x,y V, 定义x y=(x3+y3)1/3, k x=k1/3x，

k R.

易验证这样定义的加法和数乘仍然构成一个线性空间。

线性函数(泛函)空间；

线性函数(泛函)的对偶空间。

这两个空间是泛函分析研究的内容，我们不进行过多讨论。

线性空间中，向量的关系：

线性相关：若存在一组不全为零的数c1,c2,…,c m,使得

c1x1+c2x2+…+c m x m=0

则称向量组x1,x2,…,x m线性相关，否则为线性无关。

极大线性无关组：一个不可能再往里添加向量而保持

它们的线性无关性

引理1.1：线性无关组总是可以扩充为极大线性无关组。

引理1.2：在一个线性空间中任两个极大线性无关组若它们的所含向量个数都有限，则所含向量个数一定相同.（作为作

业证明）

(定义)线性空间V的维数：V中极大线性无关组的所含向量的个数，定义为线性空间的维数。

维数有限的称为有限维空间，否则称为无穷维空间。

本书仅仅研究有限维空间，这里得到的结论有些可以直接推广到无穷维空间，但有些却不可能。必须小心！

在后面的讨论中我们仅仅讨论有限维空间，而不一一说明。

线性空间中向量的表示

线性空间的基：若线性空间V的向量x1,x2,…,x r满足

1）x1,x2,…,x r线性无关；

2）V中的任意向量x都是x1,x2,…,x r的线性组合；

则称x1,x2,…,x r为V的一个基或基底，相应地称x i为基向量。

推论1.1：线性空间中任意一组极大无关组构成它的一组基。定义1.2：称线性空间V n的一组基x1,x2,…,x n为V n的一个坐标系。设向量x V n,它在该组基下的线性表示为

x = c1 x1+c2x2+…+c n x n

则称c1,c2,…,c n为x在该坐标系下的坐标或分量，有时我们称

n维向量(c1,c2,…,c n)T为向量x在该组基下的表示。

数域相同的线性空间和欧氏空间的关系：

定理1.2 在一组基下我们看到任意n维线性空间V和n维欧氏空间R n(或C n)代数同构,即存在V和R n或(C n)的一一映射:V

X使得

(x+y)= (x)+ (y), x, y V

(kx) =k (x), x V, k K.

(按后面的定义，实际为可逆的线性映射)。