单调性及幂函数

函数的单调性

知能点全解：

知能点一： 函数单调性的定义

1、图形描述：

从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在 y 轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就 是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的

增大,相应的y 值也随着增大，即如果任取21,x x [)0,∈+∞，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y 。这时我们就说函数)(x f =2

x 在[0,+ ∞)上是增函数。

图象在y 轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说， 当x 在区间(],0-∞上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果任取21,x x (],0∈-∞，得到

1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y 。这时我们就说函数)(x f =2

x 在(-∞,0)

上是减函数.

2、定量描述

对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。 3、单调性与单调区间

若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒：

1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。

2、函数的单调区间是其定义域的子集；

3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

例 1 如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =

的图象，

根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数。

知能点二：用定义证明函数的单调性

例 2 ：证明函数3

)(x x f =()x R ∈是增函数。

例 3：证明函数()1f x x x

=

+

在()0,1上是减函数

特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： （1）取值，即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ；

（2）作差变形，即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

（3）判断()()12f x f x -的正负，当正负不确定时，可以分区间进行讨论，判断正负； （4）根据定义得出结论。 及时演练：

1、判断并证明下列函数的单调性

（1）23)(+=x x f x R ∈ （2）()32f x x =-+ x R ∈ （3）()f x x

=

（4）()f x x =-

2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明 （1）()1f x x

=

（2）()3f x x

=-

（3）()223f x x x =-+ （4）()232f x x x =-+- 3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数

53

1-2

-5x

O

y

（1）2,(0,)y x x

=∈+∞ （2）1,(1,0]1

y x x =∈-+ （3）2

1y x =-+ x ∈),(+∞-∞

（4）.1

+=

x x

y ),1(+∞-

4、讨论函数322

+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性

知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数()y f x =-与函数()y f x =的单调性相反 2、当()f x 恒为正或恒为负时，函数()

1y f

x =

与函数()y f x =的单调性相反

3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。

例 4：求函数()()2

0x a

f x a x

-+=

>的单调区间。

及时演练：

1、下列函数中，在区间(]0,2上为增函数的是（ ） A 、3y x =- B 、21y x =+ C 、1y x

= D 、y x =-

2、在(),0-∞上单调递减的函数是（ ） A 、1

x y x =

- B 、21y x =- C 、23y x =+ D 、22x x +

3、函数()211

x x y x -=

--的单调递减区间是 。

4、已知()(),f x g x 定义在同一区间上，()f x 是增函数，()g x 是减函数，且()0g x ≠，则

（ ）

A 、()()f x g x +为减函数

B 、()()f x g x -为增函数

C 、()()f x g x ∙为减函数

D 、()()

f x

g x 为增函数

5、()223f x x x =-的单调减区间是 。

6、二次函数2y ax bx c =++的递增区间为(],2-∞，则二次函数2y bx ax c =++的递减区间为 。

7、已知函数()222913f x x x -=-+，则使函数()f x 是减函数的区间是 。

8、设()f x 是定义在区间U 上的增函数，且()0f x >，则下列函数：①()1y f x =-；②

()

1

y f x =

③()2

y f x =⎡⎤⎣⎦；④()y f x =-中，是减函数的有 （把序号填在横线上）。 知能点四：复合函数单调性的判断 对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间

),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：

)(u f y = ),(n m u ∈ 增 ↗ 减 ↘ )

(x g u = ),(b a x ∈

增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((x g f y = ),(b a x ∈

增 ↗

减 ↘

减 ↘

增 ↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

例 5：求函数x x y 20042

-=

的单调递增区间.

拓展知识点：函数(0,0)

b y ax a b x

=+>>的单调性

（1）单调增区间：b b

,,,a a ⎛

⎫⎛

⎫

-∞-

+∞ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ （2）单调减区间：b b

0,

,,0a a ⎛⎫⎛

⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

（3）图像的两条渐进线分别为0x =和y ax

=

（4）图像如右：