差分方程方法

第三章 差分方程方法
3.1 差分方程的平衡点及其稳定性
设有未知序列{}n x ，称
0),,,;(1=++k n n n x x x n F
(3.1)
为k 阶差分方程。

若有)(n x x n =，满足
0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F
则称)(n x x n =是差分方程(3.1)的解，包含k 个任意常数的解称为(3.1)的通解，
110,,,-k x x x 为已知时，称其为(3.1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后
的解称为(3.1)的特解。

形如
)()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++
(3.2)
的差分方程，称为k 阶线性差分方程。

)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。

若差分方程(3.2)中的0)(=n f ，则称差分方程(3.2)为k 阶齐次线性差分方程，否则称为k 阶非齐次线性差分方程。

若有常数α是差分方程(3.1)的解，即0),,,;(=ααα n F ，则称α是差分方程(3.1)的平衡点，又对差分方程(3.1)的任意由初始条件确定的解)(n x x n =，都有
)(∞→→n x n α，则称这个平衡点α是稳定的。

若110,,,-k x x x 已知，则形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解可以在计算机上实现。

下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。

一阶常系数线性差分方程
b x x n n =++α1，
(3.3)
（其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为
)1()(++-=a b C x n n α
(3.4)
易知)1(+αb 是方程(3.3)的平衡点，由(3.4)式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳定的平衡点。

二阶常系数线性差分方程
r bx x x n n n =++++12α，
(3.5)
其中r b a ,,为常数，当0=r 时，它有一特解0*
=x ；当0≠r ，且01≠++b a 时，它有
一特解)1(*++=b a r x 。

不管是哪种情形，*
x 是方程(3.5)的平衡点。

设方程(3.5)的特征方程
02=++b a λλ
的两个根分别为1λλ=，2λλ=，则
①当1λ，2λ是两个不同实根时，方程(3.5)的通解为n n n C C x x )()(2211*λλ++=； ②当λλ=2,1是两个相同实根时，方程(3.5)的通解为n n n C C x x λ)(21*++=； ③当)sin (cos 2,1θθρλi +=
是一对共轭复根时，方程(3.5)的通解为
)sin cos (21*θθρn C n C x x n n ++=
易知，当且仅当特征方程的任一特征根
1<i λ时，平衡点*x 是稳定的。

二阶方程的上述结果可以推广到k 阶线性方程，即k 阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根),,2,1(k i i =λ均满足：
1<i λ，即均在复平面上的单位圆内。

下面讨论一阶非线性差分方程
)(1n n x f x =+
(3.6)
的平衡点的稳定性。

其平衡点*
x 由代数方程)(x f x =解出，为分析平衡点*
x 的稳定性，将方程(3.6)的右端)(n x f 在*
x 点作泰勒展开，只取一次项，(3.6)近似为
)())((***'1x f x x x f x n n +-=+
(3.7)
(3.7)是(3.6)的近似线性方程，*
x 也是(3.7)的平衡点。

关于线性方程平衡点稳定的条件上
面已给出，而当1)(*
'≠x f 时，方程(3.6)与(3.7)平衡点的稳定性相同。

于是得到，当
1)(*'<x f 时，对于非线性方程(3.6)，*x 是稳定的；当1)(*'>x f 时，对于方程(3.6)，
*x 是不稳定的。

3.2 市场经济中的蛛网模型
在自由贸易的集市上你注意过这样的现象吗？一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副业。

过一段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业。

这样下一个时期会重视供大于求、价格下降的局面，在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此循环下去。

在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越低。

而下一时段商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格越低生产的数量就越小。

这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。

这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人们群众的正常生活。

现在我们用差分方程建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。

记第n 时段商品数量为n x ，价格为n y ， ,2,1=n 。

这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是一年，肉类则是1个饲养周期。

在n 时段商品的价格n y 取决于数量n x ，设
)(n n x f y =。

它反映消费者对这种商品的需求关系，称
需求函数。

因为商品的数量越多价格越低，所以在图3-1中用一条下降曲线f 表示它，f 为需求曲线。

在1+n 时段商品的数量1+n x 由上一时段价格n y 决定，用)(1n n y g x =+表示，它反映生产者的供应关系，称为供应函数。

因为价格越高生产量才越大，所以在图3-1中供应曲线g 是一条上升曲线。

设图3-1中两条曲线f 和g 相交于),(000y x P 点，在0P 点附近取函数f 和g 的线性近似，即
需求函数)(f ：)(00x x y y n n --=-α，0>α (3.8)
供应函数)(g ：)(001y y x x n n -=-+β，0>β
(3.9)
由式(3.8)，(3.9)消去n y 得一阶线性差分方程
01)1(x x x n n αβαβ++-=+，.,2,1 =n
(3.10)
因此0x 是其平衡点，即0P 是平衡点，对n 递推不难得到
011])(1[)(x x x n n n αβαβ--+-=+，.,2,1 =n
图4-1 需求函数和供应函数
由此可得，平衡点0P 稳定的条件是：1<αβ；不稳定的条件是：1>αβ。

下面用图形解释此模型。

若对某一个k 有0x x k =，递推可得，当k n ≥时0x x n =，从而0y y n =，即商品的数量和价格将永远保持在),(000y x P 点。

但是实际生活中的种种干扰使得n x ，n y 不可能停止在0P 点上。

不妨设1x 偏离0x ，我们分析随着n 的增加n x ，n y 的变化。

数量1x 给定后，价格1y 由曲线f 上的1P 点决定，下一时段的数量2x 由曲线g 上的2P 点 决定，这样得到一系列的点),(111y x P ，),(122y x P ，),(223y x P ， ),(234y x P ，…，在图3-2上这些点将按箭头所示方向趋向),(000y x P ，表明0P 是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。

但是如果需求函数和供应函数由图3-3的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照1P ，2P ，3P ，4P ，…，的规律变化而远离0P ，即0P 是不稳定平衡点，市场经济趋向不稳定。

由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利
于经济稳定。

图3-2和图3-3中折线 4321P P P P 形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。

实际上，需求曲线f 和供应曲线g 的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。

一般地说，f 取决于消费者对这种商品的需要程度和他们的消费水平，g 则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。

下面再来解释此模型的实际意义。

首先考察参数α，β的含义，需求函数f 的斜率α（取绝对值）表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；供应函数g 的斜率β表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应增加量。

所以α的数值反映消费者对商品需求的敏感程度。

如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么α会比较大；
图3-2 稳定的0P 图3-3 不稳定的0P
反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则α较小。

β的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度，如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么β会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则β较小。

根据α，β的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。

当供应函数g ，即β固定时，α越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越利于经济稳定。

当需求函数f ，即α固定时，β越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越利于经济稳定。

反之，当α，β较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。

当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是0=α，不管曲线g 如何，总是稳定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多于需求时，政府收购过乘部分，于是0=β，不管曲线f 如何，也总是稳定的。

最后我们将模型稍加推广。

如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平均值2)(1-+n n y y ，于是供应函数为[])2(11-++=n n n y y g x 。

在0P 点附近取线性近似时，(3.9)表示为：
供应函数)(g ：[])2(0101y y y x x n n n -+=--+β，0>β。

(3.11) 又设需求函数仍由（3.8）式表示，则由(3.8)，(3.11)式得到
012)1(2x x x x n n n αβαβαβ+=++++，.,2,1 =n
(3.12)
(3.12)式是二阶线性差分方程。

0P 点稳定的条件可由其特征方程
022=++αβαβλλ
的根4
8)(22
,1αβ
αβαβλ-±-=
确定。

当8>αβ时，显然有
()24
4
822-<-
<--
-=
αβ
αβ
αβαβλ，
从而
22>λ，0P 是不稳定的。

当8<αβ时，可以算出
2
2,1αβ
λ=
，由12,1<λ得到0P 点稳定的条件为2<αβ。

这与原有模型中的0P 点稳定的条件1<αβ相比，保持经济稳定的参数α，β的范围放大了（α，β的含义未变）。

可以想到，这是生产经营者的生产管理水平提高，对市场经济稳定起着有利影响的必然结果。

3.3 差分形式的阻滞增长模型
阻滞增长模型
)1(K
x
rx dt dx -= (3.13)
的差分形式是
)1(1K y ry y y n n n n -=-+
将其化为
[])11()1(1K r ry y r y n n n +-+=+
令1+=r b ，]K r ry x n n )1(+=，将上式简化为
()n n n x bx x -=+11
(3.14)
方程(3.14)的解可根据给定的初值0x ，利用计算机算出：
根据r ，K 的含义，有1>b ，10<<n x ，再由(3.14)应有4<b 。

下面主要讨论当
41<<b 时，序列{}n x 的收敛性，它比简单地讨论方程(3.13)或(3.14)的稳定性复杂，且
会看到一个十分有趣的现象。

记)1()(x bx x f -=，解代数方程)(x f x =得方程(3.14)的平衡点
0*=x ，11-.
由于)21()('
x b x f -=，注意到1>b 及平衡点稳定的条件1)(*'<x f 得，0不是稳定
的平衡点，x 11*
-=的状况可以通过方程(3.14)的图解法清楚地表示出来。

在xOy 平面
上画出x y =和)(x f y =的图形（图3-4）。

由于b x f -=2)(*
'，因此当21<<b 时，n
x 基本上是单调递增地收敛于*
x （图3-4（1））；当32<<b 时，n x 基本上是衰减震荡地收
敛于*
x （图3-4（2））。

图3-4（1） 图3-4（2）
当3>b 时，虽然方程(3.14)仍可形式地求解，但*
x 不稳定，其图解法如图3-5所示。

事情到此并未完结，由(3.14)式迭代一次可得
[])1(1)1()1(112n n n n n n n x bx x bbx x bx x ---=-=+++
即
[])1(1)1(22n n n n n x bx x x b x ---=+
(3.15)
方程(3.15)虽是二阶非线性差分方程，但缺少1+n x ，相当于一阶差分方程。

解代数方程
[])1(1)1(2n n x bx x x b x ---=
得到方程(3.15)的4个平衡点，除了方程(3.14)的2个平衡点0，b 11-外，还有两个
b
b b b x
23
212*2
,1--+=
图3-5 图3-6
可以验证（根据一阶差分方程的判别方法），在条件3>b 下，平衡点0，11-不是
稳定的，而*
2,1x 是稳定的条件为449.361=+<b 。

这就是说，当449.33<<b 时，虽然
序列{}n x 不收敛，但它的两个子序列{}n x 2和{}12+n x 都是收敛的（图3-6）。

它的生物学意义是，当固有增长率449.22<<r 时，从一个繁殖周期（即一代）的角度看，其数量增长是不稳定的，但从两个繁殖周期（即两代）的角度看，其数量增长是稳定的，这就是所谓的2倍周期收敛。

读者不难想到，当449.3>b 时，*
2,1x 不再是稳定的，即方程(3.15)不存在稳定的平衡
点，从而对于方程(3.14)来说2倍周期也不收敛了，但是将方程(3.15)迭代一次或者将方程(3.14)迭代2次，得
)()4(4n n x f x =+
(3.16)
方程(3.16)有8个平衡点，其中4个也是方程(3.15)的平衡点，在条件449.3>b 下不稳定，另外4个当544.3449.3<<b 时是稳定的。

按照这样的规律我们可对模型(3.14)的增长序列{}n x 讨论k
2倍周期收敛问题，收敛性
完全由参数b 的取值确定。

若记k b 为使k
2倍周期收敛的b 的上限，则30=b ，449.31=b ，544.32=b ，…（图3-7）。

更深入地研究表明，当∞→k 时9569.3→k b …，而当9569.3>b …时就不存在任何k 2倍周期收敛，n x 的趋势呈现一片混乱（图3-8），这就是
所谓的混沌现象（Chaos ）。

图3-7 图3-8。