运筹学例题
运筹学典型题型案例集
运筹学典型题型案例集第一章线性规划1 生产计划问题（（摘自王治祯环境应用数学309页））某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。
解：设ABC三种产品的产量为X1X2X3Max Z =5X1+8X2+2X310X1+5X2+3 X3<=4006X1+10X2+2 X3<=4004X1+5X2+4X3<=200经过求解X1=34.23，X2=8.19X3=5.37最大利润为274.412 投资问题解：用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。
第一年资金量：30万，可投项目：A、B；故：X1A+X1B＜=30。
第二年资金量：1.2*X1A，可投项目：A、C；故：X2A+X2C＜=1.2*X1A。
第三年资金量：1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：A、B、D；故：X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。
其它条件：X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。
目标：第三年底收益最大。
因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。
则目标函数为：f(x)=0.2*（X1A+ X2A + X3A）+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D LINGO Model如下：max =0.2*(X1A+ X2A + X3A)+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D;X1A+X1B<=30;X2A+X2C<=1.2*X1A;X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B;@bnd(0,X1B,20); @bnd(0,X3B,20); @bnd(0,X2C,15); @bnd(0,X3D,10);运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 27.50000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1A 12.50000 0.000000X2A 0.000000 0.6000000E-01X3A 16.25000 0.000000X1B 17.50000 0.000000X2C 15.00000 -0.1000000X3D 10.00000 -0.2000000X3B 0.000000 0.2000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.50000 1.0000002 0.000000 0.80000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.2000000投资计划解释：第一年年初投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元；第二年年初投资C项目15万元；第三年年初投资A项目16.25万元，投资D项目10万元；第三年年年末可获最大收益27.5万元。
运筹学例题-打印版
运筹学例题-打印版⼀、绪论⼀个班级的学⽣共计选修A 、B 、C 、D 、E 、F 六门课程，其中⼀部分⼈同时选修D 、C 、A ，⼀部分⼈同时选修B 、C 、F ，⼀部分⼈同时选修B 、E ，还有⼀部分⼈同时选修A 、B ，期终考试要求每天考⼀门课，六天内考完，为了减轻学⽣负担，要求每⼈都不连续参加考试，试设计⼀个考试⽇程表。
⼆、图解法例1. 某⼯⼚在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的⽣产，已知⽣产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：⼯⼚应分别⽣产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使⼯⼚获利最多？ 3.1例2 某公司由于⽣产需要，共需要A ，B 两种原料⾄少350吨（A ，B 两种材料有⼀定替代性），其中A 原料⾄少购进125吨。
但由于A ，B 两种原料的规格不同，各⾃所需的加⼯时间也是不同的，加⼯每吨A 原料需要2个⼩时，加⼯每吨B 原料需要1⼩时，⽽公司总共有600个加⼯⼩时。
⼜知道每吨A 原料的价格为2万元，每吨B 原料的价格为3万元，试问在满⾜⽣产需要的前提下，在公司加⼯能⼒的范围内，如何购买A ，B 两种原料，使得购进成本最低？三、单纯形法例1. 某⼚⽣产甲⼄两种产品，各⾃的零部件分别在A 、B 车间⽣产，最后都需在C 车间装配，相关数据如表所⽰：问如何安排甲、⼄两产品的产量，使利润为最⼤。
例2. 某名牌饮料在国内有三个⽣产⼚，分布在城市A1、A2、A3,其⼀级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各⼚的产量、各承销商的销售量及从A i 到B j 的每吨饮料运费为C ij ，为发挥集团优势，公司要统⼀筹划运销问题，求运费最⼩的调运⽅案。
四、线性规划在⼯商管理中的应⽤例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务⼈员数如下：设司机和乘务⼈员分别在各时间段⼀开始时上班，并连续⼯作⼋⼩时，问该公交线路怎样安排司机和乘务⼈员，既能满⾜⼯作需要，⼜配备最少司机和乘务⼈员?例2．⼀家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所⽰。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学典型考试试题及答案
二、计算题（60分）1、 已知线性规划（20分） MaxZ=3X 1+4X 2 X 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤8 X 1） 写出该线性规划的对偶问题。
2） 若C2从4变成5, 最优解是否会发生改变, 为什么？ 若b2的量从12上升到15, 最优解是否会发生变化, 为什么？如果增加一种产品X6, 其P6=(2,3,1)T, C6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥02)当C2从4变成5时, σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的, 所以最优解不变。
3）当若b 2的量从12上升到15 X ＝9/8 29/8 1/4由于基变量的值仍然都是大于0的, 所以最优解的基变量不会发生变化。
4）如果增加一种新的产品, 则 P6’=(11/8,7/8, －1/4)T σ6=3/8>0所以对最优解有影响,该种产品应该生产计算检验数由于存在非基变量的检验数小于0, 所以不是最优解, 需调整 调整为：重新计算检验数所有的检验数都大于等于0, 所以得到最优解3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者, 规定每个承包商只能且必须承包一个项目, 试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者, 总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示：X= 0 1 0 0 1 0 0 00 0 0 1总费用为504.考虑如下线性规划问题（24分）Max z=-5x1+5x2+13x3s.t..-x1+x2+3x3≤2012x1+4x2+10x3≤90x1, x2, x3≥0回答以下问题:1）求最优解2）求对偶问题的最优解3）当b1由20变为45, 最优解是否发生变化。
4）求新解增加一个变量x6, c6=10, a16=3, a26=5, 对最优解是否有影响5）c2有5变为6, 是否影响最优解。
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案一、线性规划试题一某工厂生产A、B两种产品，A产品每件利润为20元，B 产品每件利润为30元。
已知生产一个A产品需10小时，生产一个B产品需15小时。
某次生产过程中，工厂共有50个小时可用于生产，且设定A产品的最少需求量为20件，B产品的最少需求量为15件。
问应该生产多少件A产品和多少件B产品，才能使得工厂的利润最大化？答案一为了使工厂的利润最大化，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
设工厂生产的A产品数量为x，B产品数量为x。
根据题目中的要求，可得以下条件：1.$10x+15y\\leq50$ （生产时间的限制）2.$x\\geq20$ （A产品的最少需求量）3.$y\\geq15$ （B产品的最少需求量）另外，我们还需要定义目标函数，即使工厂利润最大化：$max\\ Z = 20x+30y$根据以上条件和目标函数，可以得到如下线性规划模型：$max\\ Z = 20x+30y$$\\begin{cases} 10x+15y\\leq50\\\\ x\\geq20\\\\y\\geq15\\\\ x,y\\geq0 \\end{cases}$以上模型可以通过线性规划求解软件进行求解，得到最优解。
试题二某公司有甲、乙、丙三个工厂，每个工厂都可以制造产品A和产品B。
甲工厂每天制造产品A的数量最多为80件，产品B的数量最多为100件；乙工厂每天制造产品A的数量最多为60件，产品B的数量最多为40件；丙工厂每天制造产品A的数量最多为50件，产品B的数量最多为70件。
公司有订单，要求每天至少制造产品A的30件，产品B的50件。
甲工厂生产产品A的成本为5元，产品B的成本为4元；乙工厂生产产品A的成本为4元，产品B的成本为3元；丙工厂生产产品A的成本为3元，产品B的成本为2元。
问如何安排存货以使公司在利润最大化的前提下能够满足订单需求？答案二为了使公司在利润最大化的前提下满足订单需求，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
运筹学例题——精选推荐
例1-20 （生产计划问题）某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如表1-45所示，若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存储费0.2万元，现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低. 试建立线性规划模型.表1-45例1-21 （多阶段投资问题）某公司现有资金30万元可用于投资，5年内有下列方案可供采纳：1#方案：在年初投资1元，2年后可收回1.3元；2# 方案：在年初投资1元，3年后可收回1.45元；3#方案：仅在第1年年初有一次投资机会，每投资1元，4年后可收回1.65元；4#方案：仅在第2年年初有一次投资机会，每投资1元，4年后可收回1.7元；5# 方案：在年初贷给其他企业，年息为10%，第二年年初可收回.每年年初投资所得收益及贷款本金利息也可用作安排. 问该公司在5年内怎样使用资金，才能在第六年年初拥有最多资金？例1-22 （混料问题）某糖果厂用原料A，B和C按不同比率混合加工而成甲、乙、丙3种糖果（假设混合加工中不损耗原料）. 原料A，B，C在糖果甲、乙、丙中的含量、原料成本、加工成本、原料限量及糖果售价如表1-47所示.问该厂对这3种糖果各生产多少千克，使得到的利润最大？表 1-47例1-23（下料问题）造纸厂接到定单，所需卷纸的宽度和长度如表1-48所示.(表中具体的单位长度是多少，我们没有给出，视具体问题而定.本教材在一些应用举例中不打算对讨论对象都给出具体的量纲而仅给出数字.例如本题在讨论时，有时连“单位长度”4个字都省去，就说宽度5，长度3000. 以后类似情况，我们不再说明. 当然，在同一问题中，同一讨论对象省去的量纲单位应统一.) 工厂生长1#（宽度10）和2#（宽度20）两种标准卷纸，其长度未加规定.现按定单要求对标准卷纸进行切割，切割后有限长度的卷纸可连接起来达到所需卷纸的长度. 问如何安排切割计划以满足定单需求而使切割损失量最小？。
运筹学例题解析
(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解：1、(1)设定决策变量：设甲、乙两种产品分别生产x 1、x 2单位。
(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行。
甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。
（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
解：（1）建立图论——最短路问题模型。
①设点V i 表示第i 年年初，虚设一个点V 6，表示第五年年底；②弧(V i , V j )表示第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(V i , V j )上的权数表示第i 年初购进一台设备，一直使用到第j 年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案考试时间：120分钟命题人：XXX一、选择题（共60分）1. 运筹学的核心思想是：A. 尽可能地满足需求B. 确定最优决策C. 提高运营效率D. 预测未来趋势答案：B2. 下列哪个不是运筹学的应用领域？A. 生产调度B. 金融风险管理C. 市场营销D. 交通规划答案：C3. 线性规划是研究下列问题的数学方法：A. 最大化目标函数B. 最小化目标函数C. 求解等式系统D. 优化约束条件答案：D4. 整数规划是线性规划的扩展，其特点是：A. 变量只能取整数值B. 变量可以取任意实数值C. 目标函数必须是整数D. 约束条件必须是整数答案：A5. 运筹学中的最短路径问题是指：A. 在有向图中找到从起点到终点的最短路径B. 在无向图中找到连接所有节点的最短路径C. 在网络中找到连接所有节点的最短路径D. 在带权图中找到权值最小的路径答案：A二、计算题（共40分）1. 某工厂有3个生产车间，分别需要完成4个任务。
完成每个任务所需时间如下：车间1：10小时车间2：8小时车间3：6小时为了提高效率，每个车间只能同时进行一个任务。
请问应如何分配任务，才能使得所有任务完成的时间最短？答案：将任务按照时间从大到小排序分配，先将任务分配给车间1和车间2，然后再将任务分配给车间3。
具体分配如下：车间1：10小时（任务1）车间2：8小时（任务2）车间3：6小时（任务3）车间1：18小时（任务1+任务4）车间2：16小时（任务2+任务4）车间3：12小时（任务3）总时间为18小时。
2. 某物流公司需要将货物从发货仓库A送至目的地仓库B。
货物可通过3条不同的路径运送，分别需要的运输时间为：路径1：6小时路径2：8小时路径3：10小时若考虑各路径的运输成本，路径1的运输成本为100元/小时，路径2的运输成本为150元/小时，路径3的运输成本为120元/小时。
请问应如何选择路径，使得运输成本最低？答案：计算各路径的单位成本，并选择单位成本最低的路径。
《运筹学》习题与答案
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹练习题及答案
运筹练习题及答案运筹学是应用数学的一个分支，它主要研究如何在有限资源下，通过合理规划和决策来达到最优效果。
以下是一些运筹练习题及答案，供学习者练习和参考。
练习题1：线性规划问题某工厂生产A和B两种产品，每种产品都需要使用机器和劳动力。
生产1单位A产品需要1小时机器时间和2小时劳动力，生产1单位B产品需要2小时机器时间和1小时劳动力。
工厂每天有10小时机器时间和15小时劳动力。
如果A产品的利润是3元，B产品的利润是5元，问如何安排生产计划以使总利润最大化？答案：设生产A产品的数量为x，B产品的数量为y。
目标函数：最大化利润 Z = 3x + 5y约束条件：1. 机器时间：x + 2y ≤ 102. 劳动力时间：2x + y ≤ 153. 非负性：x ≥ 0, y ≥ 0通过图解法或单纯形法，我们可以得到最优解为x = 4, y = 3，此时最大利润为34元。
练习题2：整数规划问题一家公司需要安排10名员工在5个不同的部门工作。
每个部门至少需要1名员工，且每个员工只能在一个部门工作。
部门A需要至少3名员工，部门B需要至少2名员工，部门C需要1名员工，部门D和E 各需要至少1名员工。
问如何分配员工以满足所有部门的需求？答案：设部门A、B、C、D、E分别分配的员工数为x1, x2, x3, x4, x5。
目标函数：满足所有部门需求，无直接利润最大化。
约束条件：1. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 102. x1 ≥ 33. x2 ≥ 24. x3 = 15. x4 = 16. x5 = 1通过枚举法或整数规划算法，我们可以得到一种分配方案为：部门A 分配3人，B分配2人，C、D、E各分配1人。
练习题3：网络流问题某公司有3个仓库和4个销售点，每个销售点每天对产品的需求量已知。
公司需要决定如何从仓库向销售点分配产品，以满足所有销售点的需求，同时使总运输成本最小。
答案：设仓库i向销售点j的运输量为x_ij，运输成本为c_ij。
运筹学考试试题
运筹学考试试题
问题一：线性规划
某食品公司有两种包装酱油的产品，产品 A 和产品 B。
产品 A 需
要 2 包的玻璃瓶和 3 包的金属瓶，产品 B 需要 4 包的玻璃瓶和 1 包的金属瓶。
公司每天共有 60 包玻璃瓶和 50 包金属瓶可用于生产。
产品
A 毛利为 10 元/包，产品
B 毛利为 15 元/包。
为了最大限度地提高公司的毛利，请问公司每天应该生产多少包产品 A 和产品 B？
问题二：整数规划
某快递公司需要派送多个包裹，在不同的送货地点停靠。
每个派送地点需要 1 辆专门的送货车。
快递公司最多可以使用 5 辆送货车。
每辆车的容量为 30 个包裹。
每个送货地点的包裹量如下：地点 1 需要 12 个包裹，地点 2 需要 8 个包裹，地点 3 需要 15 个包裹，地点 4 需要 10 个包裹。
每个送货地点停靠一辆车后，可以继续往下一个地点派送。
请问如何安排送货车来最大化送货量？
问题三：动态规划
假设有一个 3×3 的方格矩阵，每个格子里都写有一个正整数。
从左上角出发，每次只能向右或向下移动，直到达到右下角。
路线上所有经过的格子的数字加起来就是这条路径的价值。
求最优路径和的最大值。
问题四：网络流
某市有 4 座工厂，生产不同种类的零件。
每座工厂每天的生产能力不同，且每种零件的需求也不相同。
如何设计一个合理的生产调度方案，使得所有工厂的产量最大化，且满足市场对不同零件的需求？
以上考试试题仅供参考，实际考试内容以试卷内容为准。
祝考试顺利！。
运筹学例题及答案ppt课件
解：a）
1
b
4
0
0
2/3 1/3 0 0 1 2 b 1/3 2/3 0 043
1 1 1 0 0 5 2/3 1/3 0 1 0 2
将其加到表（1）的最终单纯形表的基变量b这一列数 字上得表（2）
（表2）
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x2 10/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 3 x1 1/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 x5 -2 0 0 -1 1 1 0 0 x6 -4/3 0 0 -2/3 1/3 0 1
5(x1 x2 x3)10x7 6000 7(x4 x5 x6)9x8 12x9 10000
6(x1 x4)8(x7 x8)4000 4(x2 x5)11x9 7000
7(x3 x6)4000
xj 0
对偶理论
1. 已知线性规划问题：
max z 2 x 1 4 x 2 x 3 x 4
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0 1/3
因x2已变化为x/2，故用单纯形法算法将x/2替换出基变 量中的x2，并在下一个表中不再保留x2，得表（9）
表9
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 X’2 x3 x4 x5 x6 4 X’2 1 0 1 1/2 -1/4 0 0 3 x1 3 1 0 -1/2 3/4 0 0 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 0 x6 0 0 0 -1 1/2 0 1
y1 2 y2 y4 2
3
y
1
y2
y3
y4
4
s.t. y3 y4 1
y1
y3
1
y1, y2 , y3 , y4 0
运筹学应用实例
A
B
C
D
E
F
陆地、河流及桥梁示意图
解：
将A，B，C，D，E，F分别用一种点表达，相互之间有桥相连 旳连一条弧；弧旳容量就是两点间旳桥梁数；设一种方向，得 到网络图如下：
A
例3.设备更新问题
某单位使用一台生产设备，在每年年底，单位领导都要决 策下年度是购置新设备还是继续使用旧设备。
若购置新设备，需要支付一笔购置费；假如继续使用旧旳， 则要支付一定旳维修费用。
一般说来，维修费随设备使用年限旳延长而增长。根据以 往旳统计资料，已经估算出设备在各年年初旳价格和不同 使用年限旳年维修费用，分别示于表1和表2。
相应旳开门方案如图所 示，共开10个门。
B C IJ
H
A
D GK
E
F
开门方案
例5：选址问题
有六个居民点v1，v2，v3，v4，v5，v6，拟定建一夜校，已知 各点参加学习旳人数为25、20、30、10、35、45人，其道路 如图所示，试拟定学校位于哪一种居民点，才干使学习者 所走旳总旅程至少？（图中边旁旳数字为路段长度）
用一条边把代表这两个项目
v2
旳顶点连接起来。这么得到
v3
下图
v1
为了处理这个问题，只需
找到一条包括全部顶点旳
v4
初等链。
v5
如：{v4，v1，v2，v3，v5}是一条初等链，相应旳比赛是： 100m自由泳，50m仰泳，50m蛙泳，100m碟泳，200m自由泳。
此问题旳方案不唯一。
例 2.线路铺设问题
0 50 150 175 200 275 40 0 80 100 120 180 180 120 0 30 60 150 D= 70 50 10 0 10 40 280 210 70 35 0 105 495 405 225 180 135 0
运筹学沃格尔法例题
以下是使用沃格尔法解决运筹学问题的例题：
例题：某部门有3个生产同类的工厂（产地），生产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单位均为t）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t）示于下表中。
要求研究产品如何调运才能使总运费最小。
解法：
1.首先，我们使用沃格尔法来求解最小运费问题。
沃格尔法是一种基于线性
规划的算法，通过迭代和调整变量的值来找到最小运费。
2.我们将使用以下变量：xij表示从第i个产地到第j个销地的运量（t）。
3.根据题目，我们可以建立以下数学模型：
Minimize: z = 5x11 + 9x12 + 10x13 + 8x14 + 9x21 + 7x22 + 10x23 + 6x31 + 7x32 + 6x34
Subject to:
x11 + x12 + x13 + x14 = 7 (A1的生产量)
x21 + x22 + x23 = 1 (A2的生产量)
x31 + x32 + x34 = 3 (A3的生产量)
x11 + x21 + x31 = 3 (A1的销售量)
x12 + x22 + x32 = 8 (A2的销售量)
x13 + x23 = 5 (A3的销售量)
x14 = 6 (A4的销售量)
xij >= 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4
4.使用沃格尔法进行迭代，找到最优解。
在每一次迭代中，我们根据当前的
解计算出新的运输方案，并更新运输量。
迭代过程一直持续到运输方案不
再发生变化为止。
5.最后，我们得到最优解，即最小的总运费。
(完整word版)运筹学习题及答案
34。某个常数bi波动时，最优表中引起变化的有（A)
A.B－1bB。 C.B－1D.B－1N
35.某个常数bi波动时，最优表中引起变化的有(C)
A. 检验数 B。CBB－1C。CBB－1b D。系数矩阵
36.任意一个容量的网络中，从起点到终点的最大流的流量等于分离起点和终点的任一割集的容量.（B）A.正确B。错误C.不一定D。无法判断
9.对偶单纯形法迭代中的主元素一定是负元素( )A
A。正确B.错误C。不一定D。无法判断
10。对偶单纯形法求解极大化线性规划时,如果不按照最小化比值的方法选取什么变量则在下一个解中至少有一个变量为正（ )B
A。换出变量B.换入变量C.非基变量D。基变量
11.对 问题的标准型: ，利用单纯形表求解时，每做一次换基迭代，都能保证它相应的目标函数值 必为（）B
A.换出变量B.换入变量C。非基变量D。基变量
29。可行解是满足约束条件和非负条件的决策变量的一组取值.（ ）A
A。正确B。错误C。不一定D。无法判断
30。 连通图G有n个点，其部分树是T，则有(C）
A。T有n个点n条边 B.T的长度等于G的每条边的长度之和
C.T有n个点n－1条边 D。T有n－1个点n条边
47.通过什么方法或者技巧可以把产销不平衡运输问题转化为产销平衡运输问题（C)
A。非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理
C.引入虚拟产地或者销地D。引入人工变量
48.为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？因为遵循了下列规则 (A）
A。按最小比值规则选择出基变量 B。先进基后出基规则
C。标准型要求变量非负规则 D。按检验数最大的变量进基规则
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第一章:
例1 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。
已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间、调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。
问该公司应制造两种家电产品各多少件，使获取的利润为最大？
建模:
用数学语言来描述这个问题。
假设美佳公司每天制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品的数量分别是x1和x2件。
马戏Z＝2x1＋x2目标函数
约束条件:
5x2≤15
6x1＋2x2≤24
x1＋x2≤5
x1，x2≥0
【例2】某企业计划生产I、Ⅱ两种产品。
这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。
按工艺资料规定，生产每件产品I需占用各设备分别为2、1、4、0小时，生产每件产品B，需占用各设备分别为2、2、0、4小时。
已知设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又知每生产一件产品I企业能获得2元利润、每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大？
例2:
捷运公司拟在下一年度的1～4月份的4个月内租用仓库堆放物资。
已知各月份所需仓库面
积数。
仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字如表1-2所示。
租借仓
库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。
因此，该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。
每次办理可签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签定租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。
例3 将下述线性规划模型化为标准形式
第二章:
写对偶问题的步骤：
第一步：根据原问题数学模型的形式统一符号。
若原问题目标函数求极大，则将其约束条件统一成“≤”或“＝”的形式；若原问题目标函数为求极小，则将其约束条件统一成“≥”或“＝”的形式。
第二步：假设对偶变量。
对偶变量与原问题的约束条件一一对应，每一个约束条件都有一个对偶变量与它相对应。
所以，对偶变量数等于原问题的约束方程数。
第三步：根据原问题与对偶问题的关系写出对偶规划模型。
灵敏度分析的步骤：
（1）将参数的变化反映到最终单纯形表上；
（2）检查原问题是否仍为最优解；
（3）检查对偶问题是否仍为最优解；
（4）按下表所列情况得出结论，决定继续计算的步骤。
例12某文教用品厂利用原材料白坯纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，
每天白坯纸的供应量为3000千克。
如单独生产各种产品时，每个工人每天可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。
已知原材料消耗为：
千克。
纸克，每箱练习本用白坯千
坯纸千克，每打日记本用白每捆原稿纸用白坯纸3
2
263
1
13313
已知生产各种产品的赢利为：每捆原稿纸1元，每打日记本2元，每箱练习本3元。
试决定：(a)在现有条件下使该厂盈利最大的方案；(b)如白坯纸供应量不变，而工人数量不足时可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天15元。
问该厂应否招临时工及招收多少为宜。
第三章
:
第四章
【例4.2】某企业集团计划用1000万元对下属5个企业进行技术改造，各企业单位的投资额已知，考虑2种市场需求变化、现有竞争对手、替代品的威胁等影响收益的4个因素，技术改造完成后预测单位投资收益率（单位投资获得利润/单位投资额)×100％)如表4-2所示．
集团制定的目标是：
（1）希望完成总投资额又不超过预算；
（2）总期望收益率达到总投资的30%；
（3）投资风险尽可能最小；
（4）保证企业5的投资额占20%左右．
集团应如何作出投资决策。
表4-8中P2行的（－2）小于零，但（－2）列上面P1行存在正数1，检验数P1－2P2>0,所有检验数非负，得到满意解X＝（0，40）
满意解X＝(80/9，560/9)T，d3+＝200/9而d2－＝0，d4+＝580/9，Z＝108.88，目标函数值比表4-16的结果小。
(图解法时如果按权系数大小顺序求最小值就很容易得到表4-16所示错误的解。
例4.7（2）是在原问题中作了部分变动后再求解，等价于第二章的灵敏度分析，求解原理基本相同．
由表4-17的计算可以看出，同一级目标中有不同权系数时，不是按大小顺序求最小，而是求加权最小)
第五章。