常用信号的傅里叶变换
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（仅是 ω频移，而非 jω）。
⎧ ⎪⎪
f
(t) cosωct
↔
1 [F( 2
jω
−
jωc ) +
F(
jω
+
jωc )]
或
⎨ ⎪ ⎪⎩
f
(t ) sin ωct
↔
1 2j
[F(
jω
−
jωc )
−
F(
jω
+
jωc )]
例：已知：1↔ 2πδ(ω) ，则 e− jωct ↔ 2πδ(ω+ ωc )
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4． 尺度变换（比例）性质：
f ( at ) ↔ a≠0
1
ω
F( j
|a | a
)，
< Bτ = 常数 >
例：
f (at − t0 ) ↔ ?
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解：
f
(t)
f
(t−t0 )=g1(t )
→
F(
jω)e−
jωt0
g1(at)
→ |
1 F( j a|
ω− )e
j
ω at0
a
或
f (at)=g2 (t)
f (t) →
1
F(
j
ω)
g2
(t
−t0 a
→
)
1
F
(
j
ω− )e
j
ω a t0
|a| a
|a| a
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例：已知 f (t) 的带宽为 B ，求 f (3t − 6) 的带宽。
解： f (3t − 6) 的带宽与 f (3t) 的带宽相等 （ ∵ 延时不改变幅频 ）
§3-6 常用信号的傅里叶变换 （广义Fபைடு நூலகம்T. 广义谱）
1．δ (t ) ↔ ?
+∞
∫ 由 F( jω) = δ(t)e− jωt dt = 1， −∞
而
∫ f
(t)
=
1
2π
+∞
1⋅
−∞
e
jωt dω
ΔΔ
==δ
(?t)
广义定义
∴
δ(t) ↔1
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∫ ⎪⎧或 +∞ e ± jωt dω = 2 πδ (t )
例：求 cos(ωct)ε (t) 的频谱 F1( jω ) 。
F1( jω)
=
1{πδ(ω
2
+ωc
)
+
1 }+
j(ω +ωc)
1 2
{πδ(ω
−ωc
)
+
1 }
j(ω −ωc)
=
π{δ(ω+ 2
ωc
)
+ δ(ω− ωc )}+
4ω j(ω2 −ωc2)
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∑ 8． 周期信号
fT
(t)
=
+∞ n=−∞
A n 2
e
jnΩt
,Ω
=
2π T
∑ ∑ 则
FT
(
jω)
=
+∞ n=−∞
A n 2
2πδ(ω− nΩ)
=
π +∞ Anδ(ω− nΩ)
n=−∞
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9． 周期性冲激序列 δT (t)
∑ ∑ +∞
+∞
⎪ ⎨
∫ ⎪⎪⎩或
− +
−
∞ ∞
e
∞
±
jω
t
dt
=
2πδ (ω)
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪⎭广义定义
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2． ε (t) ↔ ?
+∞
+∞
∫ ∫ ？ F ( jω) = ε(t )e − jωt dt = e − jωt dt ＝
−∞
0
令
ε(t)
=
lim
α→0
e −αt
ε(t)
，则
F( jω) = lim 1 α→0 α + jω
∃
前提： 设 fi (t) ↔ Fi ( jω) =| Fi ( jω) | e jϕi (ω)
∑ ∑ 1. 线性性质： ai fi (t) ↔ ai Fi ( jω)
i
i
f (t − t0 ) ↔ F ( jω)e− jωt0
2. 延时特性：
=| F ( jω) | e j[Φ(ω )−ω t0 ]
∴
∑ ∑ = 2π
+∞
+∞
δ (ω − nΩ) = Ω δ (ω − nΩ)
T n=−∞
n =−∞
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注：关于常用信号傅里叶变换的计算： （1）有F.T.的表可查； （2）常用F.T.性质求。
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§3-8 傅里叶变换的基本性质 信号时域波形与频域频谱的关系
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例：
f
(t)
=
A[ε(t
+
τ )
−
ε(t
−
τ )]
门函数
2
2
∴
F( jω) = A[πδ(ω) +
1
jω τ
]e 2 − A[πδ(ω) +
1
− jωτ
]e 2
jω
jω
= 2 A sin( ωτ ) = AτSa ( ωτ )
ω2
2
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3． 调制（移频）性质： f (t)ejωct ↔F( jω) |ω=ω−ωc
2πA
→
2πAδ (ω )
dω
dω
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4． 符号函数
sgn(t)
=
⎧1, ⎩⎨−1,
t
> t
0 <
0
=
ε
(t)
−
ε (−t)
=
2ε
(t)
−1
sgn(t) ↔ 2[πδ(ω) +
j1ω]−2πδ(ω) =
2
jω
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§3-7 周期信号的广义傅里叶变换
5．虚指数信号
=
Aδ(ω) ，
而
∫+∞
A = lim
α
dω = π
α α→0
2
−∞
+
ω2
ε (t) ↔
πδ (ω ) +
1
jω
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3．直流 A ↔ ?
+∞
由
∫ F ( jω ) = Ae − jωtdt = 2πAδ (ω )
−∞
注：
A ↔ 2πAδ(ω)
π A n
=
直流
F ( jω ) →
f (t) =
δ ( t − nT ) =
1 e jn Ω t
n = −∞
T n = −∞
∑ = + ∞ A n e jn Ω t , Ω = 2 π
2 n = −∞
T
其中， A n
=
2 T
F(
jω ) ω =nΩ
=
2 T
,n
=
0,±1,±2 "
∑ FT ( jω ) = π +∞ Anδ (ω − nΩ) n= −∞
而
lim 1 ≠ 1 α→0 α + jω jω
（ ε(t) 非奇函数）
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由 F ( jω) = lim{ α − j ω } = lim α + 1
α→0 α 2 + ω2
α 2 + ω2 α→0 α 2 + ω2 jω
其中：
lim
α→0
α
2
α + ω2
=
⎧∞, ω = 0 ⎩⎨0, ω ≠ 0
e jωct ↔ 2πδ(ω − ωc ) e − jωct ↔ 2πδ(ω + ωc )
6．余弦
cos ωct ↔ π[δ(ω + ωc ) + δ(ω − ωc )]
7.正弦
sin ωct ↔ − jπ[δ (ω − ωc ) − δ (ω + ωc )] = jπ[δ (ω + ωc ) − δ (ω − ωc )]
∴ f (3t − 6) 的带宽为 3B 。
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5． 互易（对称）性质：
若 f (t ) ↔ F ( jω ) ，则 F ( jt ) ↔ 2 π f ( − ω )
⎧ ⎪⎪
f
(t) cosωct
↔
1 [F( 2
jω
−
jωc ) +
F(
jω
+
jωc )]
或
⎨ ⎪ ⎪⎩
f
(t ) sin ωct
↔
1 2j
[F(
jω
−
jωc )
−
F(
jω
+
jωc )]
例：已知：1↔ 2πδ(ω) ，则 e− jωct ↔ 2πδ(ω+ ωc )
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4． 尺度变换（比例）性质：
f ( at ) ↔ a≠0
1
ω
F( j
|a | a
)，
< Bτ = 常数 >
例：
f (at − t0 ) ↔ ?
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解：
f
(t)
f
(t−t0 )=g1(t )
→
F(
jω)e−
jωt0
g1(at)
→ |
1 F( j a|
ω− )e
j
ω at0
a
或
f (at)=g2 (t)
f (t) →
1
F(
j
ω)
g2
(t
−t0 a
→
)
1
F
(
j
ω− )e
j
ω a t0
|a| a
|a| a
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例：已知 f (t) 的带宽为 B ，求 f (3t − 6) 的带宽。
解： f (3t − 6) 的带宽与 f (3t) 的带宽相等 （ ∵ 延时不改变幅频 ）
§3-6 常用信号的傅里叶变换 （广义Fபைடு நூலகம்T. 广义谱）
1．δ (t ) ↔ ?
+∞
∫ 由 F( jω) = δ(t)e− jωt dt = 1， −∞
而
∫ f
(t)
=
1
2π
+∞
1⋅
−∞
e
jωt dω
ΔΔ
==δ
(?t)
广义定义
∴
δ(t) ↔1
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∫ ⎪⎧或 +∞ e ± jωt dω = 2 πδ (t )
例：求 cos(ωct)ε (t) 的频谱 F1( jω ) 。
F1( jω)
=
1{πδ(ω
2
+ωc
)
+
1 }+
j(ω +ωc)
1 2
{πδ(ω
−ωc
)
+
1 }
j(ω −ωc)
=
π{δ(ω+ 2
ωc
)
+ δ(ω− ωc )}+
4ω j(ω2 −ωc2)
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∑ 8． 周期信号
fT
(t)
=
+∞ n=−∞
A n 2
e
jnΩt
,Ω
=
2π T
∑ ∑ 则
FT
(
jω)
=
+∞ n=−∞
A n 2
2πδ(ω− nΩ)
=
π +∞ Anδ(ω− nΩ)
n=−∞
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9． 周期性冲激序列 δT (t)
∑ ∑ +∞
+∞
⎪ ⎨
∫ ⎪⎪⎩或
− +
−
∞ ∞
e
∞
±
jω
t
dt
=
2πδ (ω)
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪⎭广义定义
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2． ε (t) ↔ ?
+∞
+∞
∫ ∫ ？ F ( jω) = ε(t )e − jωt dt = e − jωt dt ＝
−∞
0
令
ε(t)
=
lim
α→0
e −αt
ε(t)
，则
F( jω) = lim 1 α→0 α + jω
∃
前提： 设 fi (t) ↔ Fi ( jω) =| Fi ( jω) | e jϕi (ω)
∑ ∑ 1. 线性性质： ai fi (t) ↔ ai Fi ( jω)
i
i
f (t − t0 ) ↔ F ( jω)e− jωt0
2. 延时特性：
=| F ( jω) | e j[Φ(ω )−ω t0 ]
∴
∑ ∑ = 2π
+∞
+∞
δ (ω − nΩ) = Ω δ (ω − nΩ)
T n=−∞
n =−∞
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注：关于常用信号傅里叶变换的计算： （1）有F.T.的表可查； （2）常用F.T.性质求。
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§3-8 傅里叶变换的基本性质 信号时域波形与频域频谱的关系
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例：
f
(t)
=
A[ε(t
+
τ )
−
ε(t
−
τ )]
门函数
2
2
∴
F( jω) = A[πδ(ω) +
1
jω τ
]e 2 − A[πδ(ω) +
1
− jωτ
]e 2
jω
jω
= 2 A sin( ωτ ) = AτSa ( ωτ )
ω2
2
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3． 调制（移频）性质： f (t)ejωct ↔F( jω) |ω=ω−ωc
2πA
→
2πAδ (ω )
dω
dω
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4． 符号函数
sgn(t)
=
⎧1, ⎩⎨−1,
t
> t
0 <
0
=
ε
(t)
−
ε (−t)
=
2ε
(t)
−1
sgn(t) ↔ 2[πδ(ω) +
j1ω]−2πδ(ω) =
2
jω
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§3-7 周期信号的广义傅里叶变换
5．虚指数信号
=
Aδ(ω) ，
而
∫+∞
A = lim
α
dω = π
α α→0
2
−∞
+
ω2
ε (t) ↔
πδ (ω ) +
1
jω
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3．直流 A ↔ ?
+∞
由
∫ F ( jω ) = Ae − jωtdt = 2πAδ (ω )
−∞
注：
A ↔ 2πAδ(ω)
π A n
=
直流
F ( jω ) →
f (t) =
δ ( t − nT ) =
1 e jn Ω t
n = −∞
T n = −∞
∑ = + ∞ A n e jn Ω t , Ω = 2 π
2 n = −∞
T
其中， A n
=
2 T
F(
jω ) ω =nΩ
=
2 T
,n
=
0,±1,±2 "
∑ FT ( jω ) = π +∞ Anδ (ω − nΩ) n= −∞
而
lim 1 ≠ 1 α→0 α + jω jω
（ ε(t) 非奇函数）
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由 F ( jω) = lim{ α − j ω } = lim α + 1
α→0 α 2 + ω2
α 2 + ω2 α→0 α 2 + ω2 jω
其中：
lim
α→0
α
2
α + ω2
=
⎧∞, ω = 0 ⎩⎨0, ω ≠ 0
e jωct ↔ 2πδ(ω − ωc ) e − jωct ↔ 2πδ(ω + ωc )
6．余弦
cos ωct ↔ π[δ(ω + ωc ) + δ(ω − ωc )]
7.正弦
sin ωct ↔ − jπ[δ (ω − ωc ) − δ (ω + ωc )] = jπ[δ (ω + ωc ) − δ (ω − ωc )]
∴ f (3t − 6) 的带宽为 3B 。
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5． 互易（对称）性质：
若 f (t ) ↔ F ( jω ) ，则 F ( jt ) ↔ 2 π f ( − ω )