自控原理8分析

式中 pm+1, pm+2 , … , pn 是互异实数特征值对应的实特征向量。
展开 Api=1 pi ( i =1, 2, …., m ) 时，n 个代数方程中若有 m
个 pij ( j =1, 2, …, n) 元素可以任意选择，或只有 (nm) 个独立 方程，则有 m 个独立实特征向量。
(2) 化A阵为约当型
P 阵由 A 阵的实数特征向量 pi ( i =1, 2, …, n) 组成。 特征向量满足：
2) 若 A 阵为友矩阵，且有 n 个互异实数特征值 1, 2, , n，则下列的范德蒙特 (Vandermode) 矩阵 P 可使 A 对角化：
3) 设 A 阵具有 m 重实数特征值 1，其余为 (nm) 个互异 实数特征值，但在求解 Api=1 pi (i=1, 2, …., m) 时仍有 m 个独 立实特征向量 p1, p2, …, pm，则仍可使 A 阵化为对角阵 。
式中：
x Ax b u, y cx y
(9-207)
并称为对系统进行 P 变换。
对系统进行线性变换的目的在于使 A 阵规范化，以便于
揭示系统特性及分析计算，并不会改变系统的原有性质，故 称为等价变换。
下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。
(1) 化 A 阵为对角型
1) 设 A 阵为任意形式的方阵，且有 n 个互异实数特征值 1, 2, , n，则可由非奇异线性变换化为对角阵 。
一个可控系统，当 A，b 不具有可控标准型时，一定可以选 择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为：
下面具体推导变换矩阵 P： 设变换矩阵 P 为： 根据 A 阵变换要求，P 应满足式 (9-227)，有：
(9-229)
展开为： 经整理有：
由此可得变换矩阵：
又根据 b 阵变换要求，P 应满足式 (9-227)，有： 即： 故：
2. 对偶原理
在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理常常带 来许多方便。
设系统为 s1( A，B，C )，则系统 s2 ( AT，CT，BT ) 为系统 s1 的对偶系统。其动态方程分别为：
其中，x、z 均为 n 维状态向量；u、w 均为 p 维向量；y、v 均 为 q 维向量。注意到系统与对偶系统之间, 其输入、输出向量 的维数是相交换的。当 s2 为 s1 的对偶系统时, s1 也是 s2 的对偶 系统。
不难验证：ຫໍສະໝຸດ Baidu
1) 系统 s1 的可控性矩阵 [B AB … An1B] 与其对偶系统 s2 的可观测性矩阵 [(BT)T (AT )T(BT)T … ((AT)T )n1(BT) T] 完全相 同；
2) 系统 s1 的可观测性矩阵 [CT ATCT … (AT)n1CT ] 与其 对偶系统 s2 的可控性矩阵 [CT ATCT … (AT)n1CT ] 完全相同。
在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输入 线性定常系统状态方程的可控标准型：
与该状态方程对应的可控性矩阵 S 是一个右下三角阵，其 主对角线元素均为1，故 detS 0，系统一定可控，这就是形如 式 (9-222) 中的 A, b 称为可控标准型名称的由来。
其可控性矩阵 S 形如：
(9-223)
应用对偶原理，我们能把可观测的单输入-单输出系统化 为可观测标准型的问题， 转化为将其对偶系统化为可控标准 型的问题。
设单输入-单输出系统动态方程为：
系统可观测，但 A, c 不是可观测标准型。其对偶系统动态方程 为：
对偶系统一定可控，但不是可控标准型。 可利用已知的化为可控标准型的原理和步骤，先将对偶系
1．状态空间表达式的线性变换
在建立系统状态空间表达式时，可以看到，选取不同的状 态变量便有不同形式的动态方程。若两组状态变量之间用一个 非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有 确定关系。
设系统动态方程为：
令：
式中 P 为非奇异线性变换矩阵，它将 x 变换为 x，变换后的动 态方程为：
9-3 线性定常系统的线性变换
为便于对系统进行分析和综合设计，经常需要对系统 进行各种非奇异变换，例如将 A 阵对角化、约当化，将{A, b)化为可控标准型，将{A, c)化为可观测标准型，或将系统 进行结构分解等。
本节将介绍在线性定常系统研究中常用的一些线性变 换方法及非奇异线性变换的一些不变特性。
统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标 准型。 下面仅给出 其计算步骤 (按P464所示的5个步骤)：
1) 列出对偶系统的可控性矩阵 (原系统的可观测性矩阵V2)
2) 求 V2 的逆阵 V21，且记为行向量组：
3) 取 V2 的第 n 行 vnT，并按下列规则构造变换矩阵 P：
4) 求 P 的逆阵P1，并引入P1 变换即 z =P 1 z，变换后的动态
1) 设 A 阵具有 m 重实特征值 1，其余为 (nm) 个互异 实特征值，但在求解 Api=1 pi 时只有一个独立实特征向量 p1，
则只能使 A 化为约当阵 J。
如下页所示。
J 中虚线示出存在一个约当块。 式中 p1, p2, …, pm 是广义实特征向量，满足：
pm+1, … , pn 是互异特征值对应的实特征向量。
2) 设 A 为友矩阵，具有 m 重实特征值 1，且只有一个独
立实特征向量 p1，则使 A 约当化的 P 为：
1
3) 设 A 阵具有五重实特征值 1, 但有两个独立实特征向量
p1, p2，其余为 (n5) 个互异实特征值，A 阵约当化的形式是：
J 中虚线示出存在两个约当块，其中：
(3) 化可控系统为可控标准型
该式表明 p1 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出 变换矩阵 P1 的求法如下：
1) 计算可控性矩阵 S = [b Ab … An1b]； 2) 计算可控性矩阵的逆阵S1，设一般形式为：
3) 取出 S1 的最后一行 (即第 n 行) 构成 p1行向量：
4) 构造P阵：
5) 求 P 的逆矩阵P1， P1 便是将非标准型可控系统化 为可控标准型的变换矩阵。
方程为：
5) 对对偶系统再次利用对偶原理，便可获得原系统的可观 测标准型，结果为：
与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型需 要进行PT 变换，即令：