解三角形的函数方程思想

2
22
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 S△ABC
3a．
4
由正弦定理得 a c sin A sin 120 C 3 1 ．
sin C
sin C
2 tan C 2
由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，
所以30°<C<90°，故 1 a 2 ，从而
1 =4
c2 + a2 + ac
1 ≥4
2ac + ac
=9
解得 BD ≥ 3,当且仅当 a = c 时等号成立
所以 BD 长的最小值为 3
解法二 利用互补角解三角形
内角
A、B、C
依次成等差数列，则∠B
=
π 3
∆ABC 的面积为 3
3，S
=
1 2
acsinB
=
3
3,ac = 12
D 为边 AC 的中点，
3sin A＋π6 ≤
3，
所以 a＋c 的取值范围是
3， 2
3.
解法二：由(1)知，B＝π， 3
b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac
a＋c
≥(a＋c)2－3
2
2＝1(a＋c)2(当且仅当 a＝c 时，取等号成立)． 4
因为 b＝ 3，所以(a＋c)2≤3，即 a＋c≤ 3， 2
又三角形两边之和大于第三边，所以 3＜a＋c≤ 3， 2
积
解：（1） acosB + bcosA + 2ccosC = 0，
sinAcosB + sinBcosA =− 2sinCcosC，
sin A + B = sinC =− 2sinCcosC，
cosC
=−
1，
2
C
=
2π.
3
（2）CD 为∠ACB 平分线，AD = 2BD，
AC BC
=
AD BD
=
2，
所以 A＝2B.
(2)由 S＝a2得 1absinC＝a2，
42
4
故有 sinBsinC＝12sin2B＝sinBcosB，
因 sinB≠0，得 sinC＝cosB.
又 B，C∈(0，π)，所以 C＝π2±B.
当 B＋C＝π时，A＝π；
2
2
当 C－B＝π2时，A＝π4.
综上，A＝π或 A＝π.
2
4
到两角和差正、余弦公式、面积公式的应用。
（1）代入面积公式，利用正弦定理对边角关系式进行化简。
（2）利用余弦公式、面积公式建立方程组。
3、［2016•浙江卷，16］在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分
别为 a，b，c，已知 b＋c＝2acosB.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC 的面积 S＝a2，求角 A 的大小． 4
3
6 2 ．
4
分析：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及
到两角和差正、余弦公式、辅助角公式的应用。
（1）能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的
形式。
（2）通过消元，转化为关于角 C 的三角方程。
2、［2017•全国Ⅰ，17］△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c.已知△ABC 的面积为 a2 .
3sinA (1)求 sinBsinC；
(2)若 6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC 的周长．
解 (1)由题设得 1acsinB＝ a2 ，即 1csinB＝ a .
2
3sinA 2
3sinA
由正弦定理得 1sinCsinB＝ sinA .
2
3sinA
故 sinBsinC＝23.
(2)由题设及(1)得 cosBcosC－sinBsinC＝－1， 2
A 2
C

sin
B sin
A．
因为sinA 0，所以 sin A C sin B ．
2
由 A B C 180 ，可得 sin A C cos B ，故 cos B 2sin B cos B ．
2
2
2
22
因为 cos B 0 ，故sin B 1 ，因此B=60°．
2
3 8

S△ABC

3．
2

因此，△ABC面积的取值范围是
3, 8
3 2

．
分析：这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用，最
后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用。
解法二：由题设及（1）知△ABC的面积 S△ABC
3a 4
cosB
=
a2+c2−b2 2ac
=
2 sin A sin 120 C 2sin C ，
即 6 3 cos C 1 sin C 2sin C ，可得 cos C 60 2 ．
22
2
2
由于 0 C 120 ，所以 sin C 60 2 ，故 2
sin C sin C 60 60 sin C 60 cos 60 cos C 60 sin 60
设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值
解析：
解法一
内角
A、B、C
依次成等差数列，则∠B
=
π 3
∆ABC 的面积为 3
3，S
=
1 2
acsinB
=
3
3,ac = 12
D
为边
AC
的中点，所以
BD
=
1 2
(
BA
+
BC
)
2 BD
=
1 4
(2
BA
+
2 BC
+
2
BA
∙
BC
)
BD
2
=
1 4
c2 + a2 + 2accosB
在∆ABD
中，cos∠ADB
=
BD2+AD2−AB2 2BD∙AD
=
BD2+b42−c2 2∙b2∙BD
在∆CBD
中，cos∠CDB
=
BD2+CD2−CB2 2BD∙CD
=
BD2+b42−a2 2∙b2∙BD
cos∠ADB =− cos∠CDB
BD2
+
b2 4
−
c2
=−
(BD2
+
b2 4
−
a2)
2BD2
a2
=
3
a2
=
27 4
1 S = 2 absinC =
3 2
a2
=
27 8
3
解法二：S
=
1 2
absin120°
=
1 2
a
×
3sin60°
+
1 2
b
×
3sin60°
ab = 3a + 3b
2a2 = 3 3a
33 a= 2
1 S = 2 absinC =
3 2
a2
=
27 8
3
分析：本题考查正弦定理、两角和差正、面积公式的应用。
(1)求△ABC 的外接圆直径； (2)求 a＋c 的取值范围． 解： (1)因为 A，B，C 成等差数列．所以 2B＝A＋C，
又因为 A＋B＋C＝π，所以 B＝π. 3
3 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径 2R＝ b ＝ 2 ＝1.
sinB sinπ 3
(2)解法一：由 B＝π3，知 A＋C＝23π，可得 0＜A＜23π.
由(1)知△ABC 的外接圆直径为 1，根据正弦定理得，
sianA＝sibnB＝sincC＝1，
所以 a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin 23π－A
＝
3
3sinA＋1cosA
2
2
＝
3sin
A＋π 6
.
因为 0＜A＜23π，所以π6＜A＋π6＜56π.
所以12＜sin A＋π6 ≤1，
从而 3＜ 2
（1）利用正弦定理对边角关系式进行化简。
（2）解法一先用角分线定理建立边长间的关系，然后用向量关系
列方程；解法二用等面积法建立方程。
考向二：解三角形中的最值问题
解三角形中的最值问题主要是转化为三角形内的三角函数，利用三
角函数求最值。
1、△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若角 A，B，C 成等差数列，且 b＝ 23.
分析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形
的面积公式，解三角方程。
4、在∆ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c， acosB + bcosA + 2ccosC = 0,
(1) 求角 C 的大小；
(2) 若 CD 为∠ACB 平分线，且 CD = 3，AD = 2BD，求 ∆ABC 的 面
即 cos(B＋C)＝－1.所以 B＋C＝2π，故 A＝π.
2
3
3
由题意得 1bcsinA＝ a2 ，a＝3，所以 bc＝8.
2
3sinA
由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝ 33.
故△ABC 的周长为 3＋ 33.
分析：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及
AB
=
1 3
AB
+
2 3
AC
2 AD
=
1 9
2 AB
+
42 9 AC
+
4 9
AB
∙
AC
AD
2
=
1 9
c2
+
4 9
b2
+
4 9
bccosA
=
1 9
c2 + 4b2 + 2bc
=
1 9
((
2b +
c
2
− 2bc)
因为 c + 2b = 4,2bc ≤ (c+22b )2 = 4
AD
2
≥
4 3
解得 AD
≥
解三角形
考向一： 解三角形中的方程思想
主要方法为消元，构建方程、方程组，解三角方程或一元二次方程。
1、【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c，设 (sin B sin C)2 sin 2 A sin B sin C ．
（1）求 A；
（2）若 2a b 2c ，求 sinC．
b = 2a，
所以 = + = + 2 = + 2 ( − ) = 1 + 2
CD CA AD CA 3 AB CA 3 CB CA
3 CA 3 CB
2 CD
=
1 9
2 CA
+
4 9
2 CB
+
4 9
CA
∙
CB
CD
2
=
1 9
b2
+
4 9
a2
+
4 9
abcosC
=
1 9
b2 + 4a2 − 2ab
=
4 9
解：（1）由已知得 sin2 B sin2 C sin2 A sin B sin C ，故由正弦定
理得 b2 c2 a2 bc ．
由余弦定理得 cos A b2 c2 a2 1 ．
2bc
2
因为 0 A 180 ，所以 A 60 ．
（2）由（1）知 B 120 C ，由题设及正弦定理得
所以 a＋c 的取值范围是
3， 2
3.
2、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为
a，b，c，已知
a sin
A
2
C

b sin
A
．
（1）求 B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围．
解：（1）由题设及正弦定理得 sin
Asin
=
a2
+
c2
−
b2 2
b2 = a2 + c2 − 2accosB = a2 + c2 − 12
2BD2
=
6
+
a2
+ 2
c2
≥
6
+
ac
=
18
BD ≥ 3,当且仅当 a = c 时等号成立
所以 BD 长的最小值为 3
变式：在∆ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c，bsinC + asinA = bsinB + csinC,c + 2b = 4,点 D 在线段 BD 上，且 BD = 2DC，求 AD
的最小值
解析：
解： bsinC + asinA = bsinB + csinC，则 bc + a2 = b2 + c2
cosA
=
b2+c2−a2 2bc
=
bc 2bc
=
12，则∠A
=
π 3
点 D 在线段 BD 上，且 BD = 2DC，
所以
AD
=
BD
+
AB
=
2 3
BC
+
AB
=
2 3
(
AC
−
AB
)
+
12，a2
+
1
−
b2
=
a，b2
=
a2
−
a
+
1
由于△ABC 为锐角三角形，
b2 + c2 − a2 > 0
b2 + a2 − c2 > 0
所以
从而
Hale Waihona Puke Baidu
3 8

S△ABC

3．
2
a<2 1
a>2
因此，△ABC 面积的取值范围是

3, 8
3 2

．
3、已知∆ 큀ඈ 的面积为 3 3，且内角 、큀、ඈ 依次成等差数列
2 3,当且仅当
3
2b
=
c
时等号成立
所以
AD
的最小值为2 3。
3
或者：
AD
2
=
1 9
c2
+
4 9
b2
+
4 9
bccosA
=
1 9
c2 + 4b2 + 2bc
1 =9
4 − 2b 2 + 4b2 + 2b 4 − 2b
1 =9
4b2 − 8b + 16
=
4 9
(b − 1)2 + 3
当
b
=
1
时，AD
的最小值为2 3。
解 (1)证明：由正弦定理得 sinB＋sinC＝2sinAcosB，
故 2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，
于是 sinB＝sin(A－B)．
又 A，B∈(0，π)，故 0<A－B<π，
所以 B＝π－(A－B)或 B＝A－B，
因此 A＝π(舍去)或 A＝2B，