2020届人教A版(文科数学) 圆锥曲线 单元测试

2020届人教A 版（文科数学） 圆锥曲线 单元测试

1．(2018·合肥模拟)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点．若M 为AF 的中点，且|AF →|＝6，则双曲线

C 的方程为( )

A.y 22－x 28

＝1 B.y 28－x 22＝1 C ．y 2－x 24＝1 D.y 24

－x 2＝1 答案 C

解析 设M 为双曲线虚轴的右端点，

由题意，可得F (0，c )，M (b ,0)，则A (2b ，－c )，

由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋c 2＝9，c 2a 2－4b 2b 2＝1，

c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，

所以双曲线C 的方程为y 2－x 24

＝1. 2．(2018·潍坊模拟)设P 为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，

c ，e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF 1→·PF 2→＝0，直线PF 2交y 轴于点A ，则

△AF 1P 的内切圆的半径为( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．e

答案 A

解析 根据题意PF 1→·PF 2→＝0，可知△AF 1P 是直角三角形，根据直角三角形的内切圆的半径公

式以及双曲线的定义可知2r ＝|PF 1|＋|P A |－|AF 1|＝|PF 1|＋|P A |－|AF 2|＝|PF 1|－(|AF 2|－|P A |)＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，求得r ＝a ，故选A.

3．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )

A.x 23－y 29＝1

B.x 29－y 23

＝1

C.x 24－y 212

＝1 D.x 212－y 24

＝1 答案 A

解析 设双曲线的右焦点为F (c ,0)． 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得c 2a 2－y 2b 2＝1， ∴y ＝±b 2a

. 不妨设A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝

⎛⎭⎫c ，－b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a

x ，即bx －ay ＝0， 则d 1＝⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a b 2＋(－a )

2＝|bc －b 2|c ＝b c (c －b )， d 2＝⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a b 2＋(－a )

2＝|bc ＋b 2|c ＝b c (c ＋b )， ∴d 1＋d 2＝b c

·2c ＝2b ＝6，∴b ＝3. ∵c a

＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝3， ∴双曲线的方程为x 23－y 29

＝1. 故选A. 4．(2018·全国Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )

A. 5 B ．2 C. 3 D. 2

答案 C

解析 如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，

由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．

因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .

又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，

所以|F 2P |＝2a ＝b ，

所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝c a ＝ 3. 5．(2018·全国Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.

答案 2

解析 方法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧

y 21＝4x 1，

y 22＝4x 2， ∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2

. 设AB 的中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，

则|MM ′|＝12|AB |＝12

(|AF |＋|BF |) ＝12

(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，

∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴，

∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.

方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM →＝(－1－x 1,1－y 1)，

BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．

由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，

∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，

∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.

又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，

∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0， 整理得4k 2－4k

＋1＝0，解得k ＝2. 6．(2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2

n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．

答案 3－1 2

解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n m x ，则n m

＝tan 60°＝3， ∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m 2

＝4，∴e 1＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，

得x 2＝a 2b 23a 2＋b 2. 如图，设D 点的横坐标为x ，

由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2.