计算机图形学第5章投影变换
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人们观察自然界的物体时，所得视觉映像同观察 点、观察方向有关。同样，要用计算机生成一幅 三维视图，也需要确定观察点、观察方向，还需 要将观察范围以外的部分图形裁剪掉。而且，由 于图形输出设备通常都是二维的，还必须将三维 图形转换到输出设备的观察平面上，二维图形基 元产生图形,从三维物体模型描述到二维图形描述 的转换过程称为投影变换。
透视投影变换的观察坐标系中（见上图所示）， 投影中心处于坐标系原点，投影平面与Z轴垂直并 距原点距离为d。由相似三角形关系求得空间点 P(x0，y0，z0)和投影平面上投影点P'(xP，yP，zP) 的坐标关系：
5.1 投影概念分类
一、投影的概念 投影变换分为平行投影和透视投影两种： 1、透视投影变换：投影射线汇聚于投影中心， 或者说投影中心在有限远处的投影。 即从空间选定的一 个投影中心和物体上 每点连直线从而构成 了一簇射线，射线与 选定的投影平面的交 点集便是物体的投影。 见下图（a）。
（a） 透视投影变换示意图
在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上述三点 到坐标原点的长度是 ,按正等轴测投影的 要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长度 的投影长度应相等：A'O=B'O、C'O=B'O 即
解上述方程 组： ，
，
，
，
所以正等轴测投影变换矩阵为：
2、正二轴测投影 正二轴测投影：投影线与各坐标轴的夹角中 有两个相等，使得物体中有两个与坐标轴平行的 边等比例缩小的正轴测投影，如图所示。
常用的斜平行投影有： 1、斜等测投影 斜等测投影：投影方向与投影平面成45°的 斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平 面的线的投影长度不变。 2、斜二测投影 斜二测投影：与投影平面成arctg(1/2)角的斜 平行投影，它使垂直投影平面的线产生长度为原 来1/2的投影线。
5.4 透视投影
透视投影：投影射线汇聚于投影中心，或者说投 影中心在有限远处的投影。
其中
投影方向不垂直于投影平面的平行投影称为斜平行投 影，在斜平行投影中，投影平面一般取坐标平面。
x (A,B,C) 0
投影线的参数方程： xp=xo+At yp=yo+Bt y zp=zo+Ct (zp=0, t=-zo/C)
（xp,yp, zp) z （xo,yo,zo)
xp= Xo－A· Zo/C yp=Yo－B· Zo/C
在观察坐标系中的正投影是去掉它们的z分量，即 可得到正轴测投影的图形。
常用的正轴测投影有： 1、正等轴测投影 正等轴测投影：投影方向与各坐标轴夹角相 等的正轴测投影，此时物体中各边以相同比例缩 小，如图所示。
根据正轴测投影的变换公式（见正轴测投影示意 图），在用户坐标系中， x轴上A点［1 0 0 1］变换后为： ［1 0 0 1］·H = [copθ pinθ·pinφ -pinθ·copφ 1] y轴上B点［0 1 0 1］变换后为： ［0 1 0 1］· H = [0 copφ pinφ 1] z轴上C点［0 0 1 1］变换后为： ［0 0 1 1］·H = [pinθ -copθ·pinφ copθ·copφ 1]
2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中 心在无限远处的投影。见下图（b）。
（b） 平行投影变换示意图
透视投影
投影线 A 投影线
平行投影
A A’ B B’
A’
B B’ 投影中心 投影面 投影中心
投影面
平行投影保持物体的有关比例不变，这是三维绘 图中产生比例图画的方法。物体的各个面的精确 视图可以由平行投影得到。另一方面，透视投影 不保持相关比例，但能够生成真实感视图。对同 样大小的物体，离投影面较远的物体比离投影面 较近物体的投影图象要小，产生近大远小的效果。
其中，xo,yo,zo是投影点坐标，xo,yo,zo是物体上点的坐标。
由于在三视图上保持了有关比例的不变性， 可以精确地测量长度和角度等量，因此常用于 工程制图。下图是一个三视图投影的例子。
5.2.2 正轴测投影
正轴测投影的投影方向不与坐标轴方向平行。
为了达到投影要求，需在用户坐标系中安排恰当 的观察坐标系位置。假设观察坐标系与用户坐标系 重合。经将用户坐标系先绕y轴旋转θ角，Fra Baidu bibliotek绕x轴 旋转φ角的变换，形成观察坐标系与用户坐标系的 新的位置关系，如上图所示。两坐标系之间的变换 矩阵为：
5.2.1 正投影
正投影的投影方向与用户坐标系的某个坐标轴方向 平行，即投影方向与另外两个坐标轴组成的平面是 垂直的。示意图中给出了立方体的各种正投影。
在观察坐标系中进行正投影很方便，因为是按Z方 向投影，物体的投影图坐标便与它的Z值无关，所 以去掉Z变量便是三维物体的二维投影描述。沿Z 方向正投影的变换可表示成：
5.3 斜平行投影
斜平行投影：是指投影射线方向不与投影平面垂直 的平行投影。若投影方向用矢量［A，B，C］表 示，则点(Xo,Yo,Zo)的投影直线可用参数写成
以Z=0（Zo=0）的平面作为投影平面时，射线与 投影面的交点满足t=-Zo/C，所以投影点的坐标是: Xp=Xo－A· Zo/C和Yp=Yo－B· Zo/C。这些变 换关系可写成： [xp yp zp 1]=[xo yo zo 1]· Mob
设投影线与x轴及y轴的夹角相等，则A'O=B'O 即
另给一约束条件，设原用户坐标系中z方向单位 长度的投影长度是k，即
解上述方程 组： ， ， 。从而可以确定投影变换矩阵H。
，
3、正三轴测投影 正三轴测投影：投影线与各坐标轴夹角全不 相等，使得物体中三个与坐标轴平行的三条边各 以不同比例缩小的正轴测投影，如图所示。
二、投影的分类
平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分 成两类：正平行投影和斜平行投影。当投影 方向与投影面的夹角为 90°时，得到的投影 为正平行投影，否则为斜平行投影 , 如下图 所示。
5.2 正平行投影
正平行投影的投影中心是在无限远处，且投影射线 与投影平面垂直。正平行投影根据投影面与坐标轴 的夹角又可分成两类：正投影(三视图)和正轴测投 影。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为 三视图，这时投影方向与这个坐标轴的方向一致。 否则，得到的投影为正轴测投影，如下图所示。
透视投影变换的观察坐标系中（见上图所示）， 投影中心处于坐标系原点，投影平面与Z轴垂直并 距原点距离为d。由相似三角形关系求得空间点 P(x0，y0，z0)和投影平面上投影点P'(xP，yP，zP) 的坐标关系：
5.1 投影概念分类
一、投影的概念 投影变换分为平行投影和透视投影两种： 1、透视投影变换：投影射线汇聚于投影中心， 或者说投影中心在有限远处的投影。 即从空间选定的一 个投影中心和物体上 每点连直线从而构成 了一簇射线，射线与 选定的投影平面的交 点集便是物体的投影。 见下图（a）。
（a） 透视投影变换示意图
在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上述三点 到坐标原点的长度是 ,按正等轴测投影的 要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长度 的投影长度应相等：A'O=B'O、C'O=B'O 即
解上述方程 组： ，
，
，
，
所以正等轴测投影变换矩阵为：
2、正二轴测投影 正二轴测投影：投影线与各坐标轴的夹角中 有两个相等，使得物体中有两个与坐标轴平行的 边等比例缩小的正轴测投影，如图所示。
常用的斜平行投影有： 1、斜等测投影 斜等测投影：投影方向与投影平面成45°的 斜平行投影，它保持平行投影平面和垂直投影平 面的线的投影长度不变。 2、斜二测投影 斜二测投影：与投影平面成arctg(1/2)角的斜 平行投影，它使垂直投影平面的线产生长度为原 来1/2的投影线。
5.4 透视投影
透视投影：投影射线汇聚于投影中心，或者说投 影中心在有限远处的投影。
其中
投影方向不垂直于投影平面的平行投影称为斜平行投 影，在斜平行投影中，投影平面一般取坐标平面。
x (A,B,C) 0
投影线的参数方程： xp=xo+At yp=yo+Bt y zp=zo+Ct (zp=0, t=-zo/C)
（xp,yp, zp) z （xo,yo,zo)
xp= Xo－A· Zo/C yp=Yo－B· Zo/C
在观察坐标系中的正投影是去掉它们的z分量，即 可得到正轴测投影的图形。
常用的正轴测投影有： 1、正等轴测投影 正等轴测投影：投影方向与各坐标轴夹角相 等的正轴测投影，此时物体中各边以相同比例缩 小，如图所示。
根据正轴测投影的变换公式（见正轴测投影示意 图），在用户坐标系中， x轴上A点［1 0 0 1］变换后为： ［1 0 0 1］·H = [copθ pinθ·pinφ -pinθ·copφ 1] y轴上B点［0 1 0 1］变换后为： ［0 1 0 1］· H = [0 copφ pinφ 1] z轴上C点［0 0 1 1］变换后为： ［0 0 1 1］·H = [pinθ -copθ·pinφ copθ·copφ 1]
2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中 心在无限远处的投影。见下图（b）。
（b） 平行投影变换示意图
透视投影
投影线 A 投影线
平行投影
A A’ B B’
A’
B B’ 投影中心 投影面 投影中心
投影面
平行投影保持物体的有关比例不变，这是三维绘 图中产生比例图画的方法。物体的各个面的精确 视图可以由平行投影得到。另一方面，透视投影 不保持相关比例，但能够生成真实感视图。对同 样大小的物体，离投影面较远的物体比离投影面 较近物体的投影图象要小，产生近大远小的效果。
其中，xo,yo,zo是投影点坐标，xo,yo,zo是物体上点的坐标。
由于在三视图上保持了有关比例的不变性， 可以精确地测量长度和角度等量，因此常用于 工程制图。下图是一个三视图投影的例子。
5.2.2 正轴测投影
正轴测投影的投影方向不与坐标轴方向平行。
为了达到投影要求，需在用户坐标系中安排恰当 的观察坐标系位置。假设观察坐标系与用户坐标系 重合。经将用户坐标系先绕y轴旋转θ角，Fra Baidu bibliotek绕x轴 旋转φ角的变换，形成观察坐标系与用户坐标系的 新的位置关系，如上图所示。两坐标系之间的变换 矩阵为：
5.2.1 正投影
正投影的投影方向与用户坐标系的某个坐标轴方向 平行，即投影方向与另外两个坐标轴组成的平面是 垂直的。示意图中给出了立方体的各种正投影。
在观察坐标系中进行正投影很方便，因为是按Z方 向投影，物体的投影图坐标便与它的Z值无关，所 以去掉Z变量便是三维物体的二维投影描述。沿Z 方向正投影的变换可表示成：
5.3 斜平行投影
斜平行投影：是指投影射线方向不与投影平面垂直 的平行投影。若投影方向用矢量［A，B，C］表 示，则点(Xo,Yo,Zo)的投影直线可用参数写成
以Z=0（Zo=0）的平面作为投影平面时，射线与 投影面的交点满足t=-Zo/C，所以投影点的坐标是: Xp=Xo－A· Zo/C和Yp=Yo－B· Zo/C。这些变 换关系可写成： [xp yp zp 1]=[xo yo zo 1]· Mob
设投影线与x轴及y轴的夹角相等，则A'O=B'O 即
另给一约束条件，设原用户坐标系中z方向单位 长度的投影长度是k，即
解上述方程 组： ， ， 。从而可以确定投影变换矩阵H。
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3、正三轴测投影 正三轴测投影：投影线与各坐标轴夹角全不 相等，使得物体中三个与坐标轴平行的三条边各 以不同比例缩小的正轴测投影，如图所示。
二、投影的分类
平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分 成两类：正平行投影和斜平行投影。当投影 方向与投影面的夹角为 90°时，得到的投影 为正平行投影，否则为斜平行投影 , 如下图 所示。
5.2 正平行投影
正平行投影的投影中心是在无限远处，且投影射线 与投影平面垂直。正平行投影根据投影面与坐标轴 的夹角又可分成两类：正投影(三视图)和正轴测投 影。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为 三视图，这时投影方向与这个坐标轴的方向一致。 否则，得到的投影为正轴测投影，如下图所示。