一种新的基于snake模型的水平集图像分割方法

第 12 期 王志豪等 : 一种新的基于 snake 模型的水平集图像分割方法
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1 背 景
1. 1 传统的水平集方法
杂的 , 计算代价很高并有一定的边界影响 。 而且 , 大量 的水平集方法在解决他们自己的问题时都有一定的缺 点 , 例如不知道何时和这样去初始化符号距离函数[ 9 ] 。 文中所介绍的这种新的变量方程就完全不需要重新初 始化的过程 , 实现的时候只要运用简单的有限元差分 的方法 。
( 3)
μ > 0 是来控制 其中 ,μp 是内部能量 ,ε m 是外部能量 。
( <) 与 SDF 的偏离程度 ,ε р m 函数是用来拖动 < 零水平
曲线靠近目标的边界 。 通过一个梯度向量来最小化能量函数 ε: ε 9< 9 =9t 9< 近目标边界 。 定义如下一个边界指示函数 :
g = ( 7)
Ω Ω
其中 , <0 是需要重新初始化的函数 , sign ( <0 ) 是符号函 数。 不幸的是 , 如果 <0 不够平滑或者 <0 在一边比另一 边变化更急剧 , 零水平集演化的结果不能很准确地移 动到目标的边界 。 而且 , 当水平集函数远离符号距离函 数时 , 这类重新初始化的方法就不能用来初始化符号 距离函数 。 在具体实现过程中 , 取很小的时间步长 , 演 化的水平集函数都会有较大的偏离符号距离值 , 更不 要说取时间步长比较大的时候 。 所以从实现的角度来说 , 重新初始化的过程是复
λ > 0 , v 是一个常量 ( 正负决定在目标外内) ,δ是 狄拉克函数 ( Dirac function) :
0
δ ε =
( 10) πx 1 ) | x | Φε [ 1 + cos ( ε ] 2ε H 是 Heaviside 函数 , L g 函数是曲线的长度 , A g 是曲线
| x | >ε
0 引 言
近些年 ,许多科学工作者在研究几何活动轮廓模 型 ( geometric active contours) ,例如 ,很多在计算机视觉 和图像分割方面遇到的问题 , 都是通过基于 snake 模 型的水平集方法进行处理
[ 1～3 ]
用[ 3 ,5～7 ] 。 在实现传统的水平集方法时 , 总是需要保持水平 集函数的演化接近符号距离函数[ 3 ,8 ] 。在演化过程 中 ,重新初始化的技术总是必须的 ,如何让重新初始化 的效果更好 ,计算量更小 ,许多学者在这方面都做了很 多工作[ 6 ,8 ] 。但是 ,仍然存在一些问题 , 例如何时以及 怎么样来实现初始化以及计算量大等 。 文中 ,用一种新的变量方程来替代传统水平集
(level set ) 方法中的符号距离函数 SDF ( signed distance function) ,因而可以完全忽略重复初始化符号距离函
。水平集方法首先是由
Osher 和 Set hian[ 4 ] 提出 , 是将两维的闭和曲线 ( 曲面)
演化问题转化为三维空间中水平集函数曲面演化的隐 含方式来求解 ,避免了对拓扑结构变化的处理 ,计算稳 定 ,从 而 在 图 像 处 理 和 计 算 机 视 觉 中 得 到 广 泛 应
p ( <) =
[ 10 ]
< | = 1 ; 反之 , 如
< | = 1 就可以认为是符号距离 。 所以 , 可以用下面的积分等式
水平集函数通常取由初始闭合曲线 C0 生成的符 号距离函数 SDF 。 设 <( x , t = 0) , x ∈ R 2 是 SDF , 则有 <( x , t = 0 ) = ± d
( 2)
∫2 ( |
Ω
1
< | - 1) 2 d x d y
( 5)
有了上面对 p ( <) 的定义 , 提出了下面的拟和能 量函数 : ε( <) = μp ( <) + ε ) m( <
( 6)
式 ( 2) 中的 d 是点 x 到初始曲线 C ( t = 0) 的距离 , 右边 的符号根据点 x 位于闭合曲线 C ( t = 0) 的内外部而 定 , 如果 x 位于 C ( t = 0) 的内部 , 则取正号 ( 或负号) , 反之取负号 ( 或正号) , 定义如下 : Ω0 - ρ, ( x , y ) ∈Ω0 - 9 <0 ( x , y ) = Ω0 0 , ( x , y) ∈ 9
A Ne w Level Set Method f or Image Segmentation Based on Snake Model
WAN G Zhi2hao 1 ,2 ,WAN G Ji2wen1 ,2
( 1. Ministry of Education Key Lab. of IC & SP ,Anhui University , Hefei 230039 ,China ; 2. School of Computer Science and Technology , Anhui University , Hefei 230039 ,China)
ρ, Ω - Ω0 其中 , 9Ω0 是闭合曲线包围的面积的边界 , Ω0 是闭合 曲线的内部的区域 ( 包括边界上的点) , Ω0 - 9Ω0 仅是 ρ是一常数 。 曲线包围的内部区域 。 以水平集函数所表 达的曲线演化的最大特点 : 即使隐含在 < 中的水平集
C 发生了拓扑结构变化 ( 合并和分裂) , < 仍保持为一有
收稿日期 :2008 - 03 - 28 基金项目 : 安徽省高校自然科学研究项目 (2006 KJ 028B) 作者简介 : 王志豪 (1983 - ) ,男 ,硕士研究生 , 研究方向为图像处理 ; 汪继文 ,教授 ,博导 ,研究方向为计算机数值模拟技术 、 计算机应用 。
数的步骤 ,提高了计算效率 。 这种新的算法 ,已经用于真实的和非真实的图片 , 可以得到令人满意的结果 。特别是在模糊的边界部分 保持了很好的鲁棒性 。
( 1)
设二 维 拟 合 曲 线 为 C ( p , t ) = ( x ( p , t ) , y ( p ,
t ) ) , p 是任意参数化变量 , t 是时间 , 并设曲线的内向
单位法矢为 N , 则曲线沿单位法矢方向的曲线演化可 以用如下偏微分方程表示 : 9C = V ( C) N 9t 度。 目前 , 解决曲线演化的途径主要是水平集方法 , 该 方法将平面闭合曲线 C 隐含表达为连续函数 <( x , y ) 的具有相同函数值的点集 ( 称为水平集) , 通常是{ < =
Abstract : In t his paper ,we introduce a new variational function t hat approximate to t he SDF (signed distance function) in standard level set met hods and needs less calculation time , and t herefore completely eliminates t he steps of re - initialization during t he contour evolu2 tion. Use an energy function to express t he change of t he level set function based on t he snake model (active contours) . The function is composed of t he internal energy and t he external energy. The internal energy describes t he tensility and t he smoot hness of t he contour ; t he external energy could be got a minimum value besides t he boundary of t he object depending on t he image data. Making t he internal and external energy got a minimum value at t he same time. It will produce internal force and external force : t he internal force controls t he direction of t he contour evolution and keeps t he degree of t he curve variation ; t he external force draws t he contour to t he boundary of t he object . Key words :level set ;SDF ;snake model ;external energy ;internal energy
0} , 称为关于 C 的水平集函数 。
式中 , V ( C) 是速度函数 , 决定曲线 C 上每点的演化速
2 不需要重新初始化的曲线演化方法
通过上面的讨论 , 在演化过程中 , 保持水平集函数 的演化接近于符号距离函数 , 特别是在零水平集的邻 域。 由于符号距离函数必须满足 | 果任意函数 < 满足 | 函数乘上一个常量 来代替 :
演化的加速函数 。 函数 ε对 < 求导可得 : ε 9 =- μ [Δ < - div ( 9< | < ) δ( <) div ( g ] - λ <| | < ) <|
计算机技术与发展 第 18 卷 ・ 132 ・
计算机技术与发展 第 18 卷 第 12 期 Vol. 18 No. 12 2008 年 12 月 COMPU TER TECHNOLO GY AND DEV ELOPM EN T Dec. 2008
一种新的基于 snake 模型的水平集图像分割方法
王志豪1 ,2 ,汪继文1 ,2
在图像分割中 , 依靠外力让初始的闭合曲线动态地靠
1 1 +|
G σ3 I |
2
( 8)
效函数 [ 1 ] 。
1. 2 重新初始化的缺点
Hale Waihona Puke Baidu
其中 , G σ 是 Gaussian Kernel , I 是图像 。 于是 , 重新写外部能量函数如下 : ε L g ( <) + vA g ( <) g ,λ, v ( <) = λ 其中 , L g , A g 定义如下 :
( 1. 安徽大学 计算智能与信号处理教育部重点实验室 ,安徽 合肥 230039 ; 2. 安徽大学 计算机科学与技术学院 ,安徽 合肥 230039)
摘 要 : 介绍了一种新的变分函数来替代传统水平集方法中的符号距离函数 , 因而可以完全忽略重复初始化符号距离函 数的步骤 ,提高了计算效率 。用一个能量函数来表示基于 snake 模型水平集函数的变化情况 。其中能量函数主要由内部 能量和外部能量表示 。利用内部能量描述曲线的张力和平滑性 ; 外部能量则基于图像数据 , 并在图像的目标边界形成极 小值 。同时最小化内部和外部能量 ,产生内力和外力 : 内力控制曲线演化的方向 , 并保持曲线不被过度弯曲 ; 外力则吸引 曲线到达目标边缘 。 关键词 : 水平集 ; 符号距离函数 ;snake 模型 ; 外力 ; 内力 中图分类号 : TP391 . 41 文献标识码 :A 文章编号 : 1673 - 629X(2008) 12 - 0130 - 04
L g ( <) = ( 9)
在传统水平集方法中 , 重新初始化被广泛地用于 数字计算上的纠正 。标准的重新初始化方法就是解下 面的等式 : 9< = sign ( <0 ) ( 1 - | 9t <| )
( 4)
A g ( <)
δ( <) | g < | d xd y ∫ = g H ( - <) d x d y ∫