直线与平面的平行垂直判定经典例题[精选.]

一、教学目标

1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定

二、上课内容

1、回顾上节课内容

2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾

3、经典例题讲解

4、课堂练习

三、课后作业

见课后练习

一、上节课知识点回顾

1． 平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 2． 直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

⎩⎪⎨

⎪⎧

共面直线⎩⎪⎨⎪⎧

平行相交异面直线：不同在任何一个平面内

3． 直线与平面平行的判定与性质

判定

性质定义定理

图形

条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，

a∥b

a∥α

a∥α，a⊂β，

α∩β＝b

结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 4.

判定

性质

定义定理

图

形

条件α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，

a∩b＝P，

a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ

＝a，β∩γ＝b

α∥β，a⊂β

结

论

α∥βα∥βa∥b a∥α

二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾

1．直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和

此平面垂直．

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也

垂直这个平面．

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

2．斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．

3．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法．

②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

(2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

4．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射

线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

[难点正本疑点清源]

1．两个平面垂直的性质定理

两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P 作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.

2．两平面垂直的判定

(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．

方法与技巧

1． 证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；

(2)判定定理1：

⎭

⎬⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n

⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；

(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2． 证明线线垂直的方法

(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 3． 证明面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 失误与防范

1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．

三、经典例题讲解

（一）直线与平面垂直的判定与性质

例1：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

（二）平面与平面垂直的判定与性质

例2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，

E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为

B 1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

（三）线面、面面垂直的综合应用

例3：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.

(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；

(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

（四）线面角、二面角的求法

例4：如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，