第二讲 规律和数列

第2讲规律及数列
寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：
一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。

二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。

三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。

一、等差数列
（一）定义：什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：
①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…
②1，3，5，7，9，11，13.
③ 2，4，6，8，10，12，14…
④ 3，6，9，12，15，18，21.
⑤100，95，90，85，80，75，70.
⑥20，18，16，14，12，10，8.
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：
数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)
数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；
数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；
数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.
一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.
为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记
为a
n ，a
n。

又称为数列的通项，a
1
；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.例1、请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

（1）1，5，9，13，（17），21，25。

+4
（2）3，6，12，24，（48），96，192。

×2
（3）1，4，9，16，25，（36），49，64，81。

n2
（4）2，3，5，8，12，17，（23 ），30，38。

+1 +2 +3 +4
（5）21，4，16，4，11，4，（6），（4）。

奇数项递减4 偶数项是常数（6）1，6，5，10，9，14，13，（18），（17 ）。

奇数项、偶数项分别递增，+4 练习1、求值：
① 6+11+16+ (501)
②101+102+103+104+ (999)
解①：n=（501-6）÷5+1=100
S
100
=(6+501)×100÷2=25350
解②：n=（999-101）÷1+1=899
S
100
=(101+999)×899÷2=494450 （二）通项公式
对于公差为d的等差数列a1，a
2，…a
n
…来说，如果a
1
小于a2，
则显然a
2
- a1= a3- a2= a n- a n-1=……=d，因此：
a2= a1+d
a3= a2+d=a1+2d
a n= a1+(n-1)d 公式（1）
若a1大于a n，同理可得a n= a1-(n-1)d 公式（2）
公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.
例2、求等差数列1，6，11，16…的第20项.
解：a
1=1 d=5 a
20
=a
1
+(n-1)d=1+19×5=96
练习2、下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？
4+2，5+8，6+14，7+20，…
解：a
1=4 d=1 a
n
=3+n a
100
=103
b
1=2 d=6 b
n
=2+(n-1)×6 b
100
=596
a
100+b
100
=103+596=699
一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，可以得到项数公式：
例3、如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
解法一：a4=21 a6=a4+2d=33 2d=33-21=12 a8=a6+2d=33+12=45
解法二：a4+a8=2a6
a8=33×2-21=45
练习3、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？
解：11+12+13+…+18=（11+18）×8÷2＝116
（116+1992）÷4=527
∴错误！未找到引用源。

（三）等差数列求和
若a
1小于a
2
，则公差为d的等差数列a
1
,a
2
,a
3
…an可以写为
a
1,a
1
+d,a
1
+d×2，…，a
1
+d×（n-1）.所以，容易知道：
a
1+a
n
=a
2
+a
n-1
=a
3
+a
n-2
=a 4+a n -3=…=a n-1+a 2=a n +a 1.
设 S n =a 1+a 2+a 3+…+a n
则 S n =a n +a n-1+a n-2+…+a 1
两式相加可得：
2×Sn=（a 1+a n ）+(a 2+a n-1)+…+(an+a 1)
即：2×Sn=n×（a 1+a n ）,
所以，
例4、 计算 1+5+9+13+17+ (1993)
解：错误！未找到引用源。

=(1993-1)÷4+1
=499
错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=497503
练习4、300到400之间能被7整除的各数之和是多少？
这些数构成以301为首项，7为公差，项数为15的等差数列，它们的和为：5250.
解：s=（301+399）×15÷2=5250
当a 1大于a 2时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n 项和的公式.
题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：
这个定理称为中项定理.
例5、建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？
解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，… 容易知道，这是一个等差数列.
方法1： a 1=2， d=4， a n =2106，
n=（a n -a 1）÷d+1=527
这堆砖共有（a 1+a n ）×n ÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

则中间一项为 a
264=a
1
+（264-1）×4=1054.
方法2：a
1=2， a
n
=2106，
则中间一项为（a
1+a
n
）÷2=1054
a
1=2， d=4， a
n
=2106，
n=（a
n -a
1
）÷d+1=527
这堆砖共有 1054×527=555458（块）.
练习5、把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？
解：分为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19.
（四）等差数列的应用
例6、把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，
请指出：①197排在第几行的第几个数？
②第10行的第9个数是多少？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
… …
分析与解答
①197是奇数中的第99个数.
数表中，第1行有1个数.
第2行有3个数.
第3行有5个数…
第n行有2×n-l个数
因此，前n行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+…+（2×n-1）
=［1+（2×n-1）〕×n÷2
=n×n
因为9×9＜99＜10×10.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.
②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为9×9+9=90），它是179.
练习6、将自然数如下排列，
1 2 6 7 15 16 …
3 5 8 1
4 17 …
4 9 13 18 …
10 12 …
11 …
…
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：2011排在第几行第几列？
解：分析与解答
不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如下图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设2011在三角阵中的第n行，则：
1+2+3+…+n-1＜2011≤1+2+3+…+n
即： 2011≤n×（n+1）÷2
用试值的方法，可以求出n=63.
又因为1+2+…+63=2016，即第63行中最大的数为2016
三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又2016-2011=5，所以，2016是三角阵中第63行从右开始数起的第6个数（若从左开始数，则为第58个数）.
把三角阵与左图作比较，可以发现：
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.
②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.
由此，我们可知，2011位于原图的6行58列.
二、有规律的数列
前一节里我们对一类特殊的数列——等差数列作了研究，找到了求其中第n个数以及求其中前面n个数之和的计算规律。

除了等差数列以外，还有各种不同的数列，如何找出相应数列的组成规律？
例7、找出以下各个数列的规律，在括号里填上适当的数。

(1)4，6，10，16，24，34，46，( )；(2)1，4，7，5，8，11，9，12，( )；
(3)1，4，9，16，25，36，( )；(4)5，9，8，16，11，23，14，30，( )。

解(1)是一个不断增大的数列，我们把相邻两数增加的部分记下来，作成下面的表
这样一来，它增加的规律就非常清楚，46后面一个数应是46+14=60。

注意，表中“+”号表示增加。

(2)虽然不再是一个不断增加的数列，我们仍可以用上法记下后一数比前一数增加(用“+”号)或减少(用“-”号)的数量，于是得到下表
由此也清楚看出这数列的规律是从1开始按照“加3，加3，再减2”的法则做的，因为9到12是在减2，后面接的第一个“+3”，故12后面那个数应是12+3=15。

(3)不难看出是由平方数组成的，括号中应填72=49。

另一方面，(3)仍是一个不断增加的数列，因此还可以按上面的方法研究它增加的规律，我们得到下表
因此，下一个数应是36+13=49，这与当作平方数看所得结果相同。

(4)也是有增有减的数列，记下相邻两数增减的数量可得下表
我们发现，带“+”号的数是等差数列4，8，12，16，…，而带“-”号的诸数也是一个等差数列1，5，9，…，于是下一个数应填30-13=17。

实际上(4)可看成是由5，8，11，14，…，及9，16，23，30，…，这两个等差数列相间组合而成的。

一般说来，一个有规律的不断增加的数列常常可以反复用上例中(1)的方法找出其规律。

练习7、找出以下各个数列的规律，在括号里填上适当的数。

(1)3，12，27，48，75，(108 )；
+9 +15 +21 +27 +33
(2)3，26，111，324，755，1518，2751，( 4616 )；
错误！未找到引用源。

(3)2，10，10，66，26，218，50，514，82，1002，(122 )，(1730 )；
奇数项：错误！未找到引用源。

偶数项：错误！未找到引用源。

(4)0.25，0.4，0.5，1.6，0.75，3.6，1，6.4，( 1.25)，(10 )。

奇数项：错误！未找到引用源。

偶数项：错误！未找到引用源。

例8、十个圆最多可以把整个平面分成几个部分？
解：直接画图容易看出，一个圆把平面分成两个部分(圆内与圆外)，两个圆至多把平面分成4个部分，而3个圆至多把平面分成8个部分(见图2.1)。

图 2.1
这样对照圆的个数，我们得到一个数列2，4，8，14，…。

注意到2=2，4=2+2，8=2+2+4，14=2+2+4+6。

故其中第10个数，也就是10个圆至多可把平面分成的份数应为
2+2+4+6+8+10+12+14+16+18
=2+(2+180)×9÷2=92(份)
练习8、10条直线最多可以把平面分成几部分？
解：
直线数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平面数 2 4 7 11 16 22 29 37 46 56 课后练习：。