第二讲 规律和数列

第2讲规律及数列

寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：

一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。

二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。

三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。

一、等差数列

（一）定义：什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：

①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…

②1，3，5，7，9，11，13.

③ 2，4，6，8，10，12，14…

④ 3，6，9，12，15，18，21.

⑤100，95，90，85，80，75，70.

⑥20，18，16，14，12，10，8.

这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：

数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)

数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；

数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；

数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.

一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.

为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记

为a

n ，a

n

。又称为数列的通项，a

1

；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.例1、请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

（1）1，5，9，13，（17），21，25。+4

（2）3，6，12，24，（48），96，192。×2

（3）1，4，9，16，25，（36），49，64，81。n2

（4）2，3，5，8，12，17，（23 ），30，38。

+1 +2 +3 +4

（5）21，4，16，4，11，4，（6），（4）。奇数项递减4 偶数项是常数（6）1，6，5，10，9，14，13，（18），（17 ）。奇数项、偶数项分别递增，+4 练习1、求值：

① 6+11+16+ (501)

②101+102+103+104+ (999)

解①：n=（501-6）÷5+1=100

S

100

=(6+501)×100÷2=25350

解②：n=（999-101）÷1+1=899

S

100

=(101+999)×899÷2=494450 （二）通项公式

对于公差为d的等差数列a1，a

2，…a

n

…来说，如果a

1

小于a2，

则显然a

2

- a1= a3- a2= a n- a n-1=……=d，因此：

a2= a1+d

a3= a2+d=a1+2d

a n= a1+(n-1)d 公式（1）

若a1大于a n，同理可得a n= a1-(n-1)d 公式（2）

公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.

例2、求等差数列1，6，11，16…的第20项.

解：a

1=1 d=5 a

20

=a

1

+(n-1)d=1+19×5=96

练习2、下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？

4+2，5+8，6+14，7+20，…

解：a

1=4 d=1 a

n

=3+n a

100

=103

b

1=2 d=6 b

n

=2+(n-1)×6 b

100

=596

a

100+b

100

=103+596=699

一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，可以得到项数公式：

例3、如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.

解法一：a4=21 a6=a4+2d=33 2d=33-21=12 a8=a6+2d=33+12=45

解法二：a4+a8=2a6

a8=33×2-21=45

练习3、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？

解：11+12+13+…+18=（11+18）×8÷2＝116

（116+1992）÷4=527

∴错误！未找到引用源。

（三）等差数列求和

若a

1小于a

2

，则公差为d的等差数列a

1

,a

2

,a

3

…an可以写为

a

1,a

1

+d,a

1

+d×2，…，a

1

+d×（n-1）.所以，容易知道：

a

1+a

n

=a

2

+a

n-1

=a

3

+a

n-2