质量管理统计方法

特点： X是仅取正实数的随机变量，它的大量取值集 中在左边，少量取值在右边且很分散。 , 2 ）， X取对数后Y=lnＸ服从正态分布Ｎ（ 这是对数正态分布最重要的特征。 E (ln X ) 是Ｘ的对数均值， 2 Var(ln X )是X 的对数方差。 X的均值与方差分别为：
质量管理统计方法
第一章
质量数据的描述
1.1 质量数据及其分布
1.2 总体、样本与统计量 1.3 参数估计 1.4 假设检验 1.5 过程能力指数 习题一
第１节：质量数据及其分布
1.1.1过程与过程控制系统 一个产品的制造常常可以分解为若干个过程。这 里讲的过程是指制造过程的一个工段、一道工序、一 项操作等，是将人、设备、材料、方法、环境等五项 输入资源按一定要求组合起来，转化为中间产品、半 成品、零部件等输出的活动。
nk P X k p k 1 p , k 0,1, k
E X np, Var X np1 p
( X ) np(1 p)
二点分布
特例,当n=1的二项分布称为二点分布，它的概 率函数即（分布列）为：
P( X x) p (1 p) , x 0,1
25
4.若随机变量X与Y相互独立（指X的取值与Y 的取值互不影响),则
Var( X Y ) Var( X ) Var(Y )
5.若随机变量X与Y相互独立，则
E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
其中性质3、4、5可以推广到三个或三个以上 随机变量场合，但性质4与5仍然要求各随机 变量相互独立。
70 92 97 90
2
E ( X ) x p( x ) d x


计算标准差，它也表明分布的分散程度，但其单位与质 量特性Ｘ、均值Ｅ（ｘ）相同： Var( X )
X
计算概率，质量特性Ｘ位于区间[a,b]内的概率为：
p(a X b) p( x)dx
a b
质量特性X取一点的概率为0，即 P( X a) b p( x)dx 0
一个好的质量管理系统不仅是若干过程的总和，而 且是相互协调与相容的。
过程控制系统：
5
1.1.2质量特性的分布
质量特性：产品满足人们某种需要所具备的 属性和特征。质量特性包括直接质量特性和 代用质量特性。 产品的质量可以用产品的质量特性X来表示。在质 量管理中遇到的质量特性的观察值（也称为数据） 通常是定量的，即X的取值可以用一定的数量单位 来度量的，它们又可以分为两类：
a
由此可知 P( X b) P( X b)
离散分布用分布表示
X P
x1
p1
1 2 k
x2
p2


xn
pn
p p p 该离散分布的均值、方差、标准差分别为：
E ( X ) xi pi
Var( X ) ( xi EX )2 pi xi2 pi ( EX )2
作频率分布表
作频率直方图
计算样本特征值：样本均值、样本方差等 例15 为对某小麦杂交组合F2代的株高 X 进行研究，抽取 容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位:厘米)， 试根据以上数据，画出它的频率直方图，并以此说明随机 变量 X 的分布状况。
87 99
88 111 91 98
91 73 110 98
称E X EX Y EY , k , l 1, 2,为 X 和 Y 的 k l阶混合中心矩.
k l
称E | X |k , k 1, 2,为 X 的 k阶绝对原点矩.
称E | X EX |k , k 1, 2, X 的 k 阶绝对中心矩.
三、变异系数
为了比较不同指标的波动，需要排除数据量 纲的影响，因而常采用变异系数，它是样本 标准差与样本均值的比，常用表示 Cv ， 即
连续分布用概率密度函数表示
例如：我们一个接一个地去测量机械轴的直径x，并不断地 把测量值放在x轴上，差异便会显示出来，如下图：
一般说来，只要ｐ（ｘ）非负，且与ｘ轴所夹面积 为１，都可称ｐ（ｘ）为概率密度函数。
计算均值（数学期望），它表明分布的中心位置：
计算方差，它表明分布的分散程度：
Var( X ) E ( X EX ) ( x EX )2 p( x)d x
k
, k 0,1, 2,, 0
六、超几何分布— Hyper geometric distribution
有 N 件产品, 其中有 M 件次品今从中任取n 件, . 设X 表示取到的次品数，则X的分布律为：
k n CM CNkM P X k , k 0,1, 2,, n n CN
i 1 i 1 n
n
i 1
n
X Var( X )
1.1.3 质量管理中的常用分布
一、正态分布 当收集到的数据为计量数据时，表明对应的 质量特性Ｘ是一个连续型随机变量。在质量 管理中最常见的连续型随机变量的分布便是 正态分布，其概率密度函数为
1 x 2 px e 2 2 2
其中： N , k M。称X 服从超几何分布。 n
X ~ H (n, N , M )
说明：超几何分布可由二项分布近似计算
1.1.4 分布的特征数
一、均值与方差的运算性质 1、常数c的均值仍然为c,即
E (c) 0,Var(c) 0
2、线性函数
aX 的均值与方差分别为： b
2
E(aX b) aE( X ) b,V (aX b) a Var( X ) 3、随机变量和或差的均值等于均值的和或差， 即 E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
它的分布函数F（x)有一个简洁形式： 1-e x , x 0, F( x ) P(X x)= p(x) x 0. 0,
x
特别在产品可靠性中，有重要的应用，如一些元器 件的寿命。
指数分布的均值、方差、标准差分别为：
X
1

四、二项分布
二项分布即重复n次的伯努利试验。在每次试验中只有 种可能的结果，而且是互相对立的，是独立的，如果 事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p n
二、样本
从总体中按一定规则抽出个体的行为称为 抽样,所抽出的个体就是样本,样本所含个体 的数量就是样本容量.
样本
从总体中按一定规则抽出个体的行为称为抽样,所抽出 的个体就是样本,样本所含个体的数量就是样本容量. 总体分布为当样本容量为1时的样本分布. 样本分布与总体分布,抽样方式,样本容量等有关.
iid iid
1.1.2 从样本去认识总体
频数频率表与直方图 正态概率图
正态分布与频率直方图
实践中，为了研究随机现象，首要的工作是收集数据. 一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章的，需 要通过整理后才能显示出它们的分布状况。 数据的简单处理是以一种直观明了的方式加工数据,它 包括两个方面：数据整理、计算样本特征值。 数据整理：将数据分组 计算各组频数
x
1 x
X pk
x1 1 p
x2
p
E X p,Var X p1 p .
五、泊松分布
若随机变量X 取一切非负整数值, 且概率分布为： k! 则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为X ~ P( ).
说明：泊松分布现记为 X ~ π( ).
P{ X k}
e
设总体X的分布为F,从中抽取一个容量为n的样本,若满足以 下两个条件,则称为简单随机样本,其抽样称为简单随机抽样：
代表性：X1 , X 2 ,, X n与总体X 有相同的分布； 独立性：X1 , X 2 ,, X n相互独立；
简单随机样本的样本分布由总体分布决定.
简记为:X1 ,, X n F x 或X1 ,, X n X .
3
质量管理就是建立在“所有工作都是通过过程来完成的” 基础上的。
如果在过程中和过程的输出处增加信息的收集，并利用 统计方法对收集到的信息进行加工，通过统计处理，发 现问题，寻找原因，指出进一步应采取的行动，再反馈 给过程的输入，调整过程的某些输入资源，以保证过程 工作正常，这样一串处理称为反馈系统。一个过程增加 了反馈系统就称为过程控制系统。
E ( X ) exp(

),Var( X ) ( EX ) exp( ) 1 2
2 2
2
三、指数分布——Exponential Distribution
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0, p( x ) x 0. 0, 其中 0 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数分布。 记为X ~ E .服从指数分布的质量特性仅取非负实 数，是严重偏态分布。
二、矩 1.定义 对于r.v.X 与Y , 假定下列各种函数的期望存在.
称mk EX k , k 1, 2,为 X 的 k阶原点矩, 简称 k阶矩.
称ck E X EX , k 2,3, X 的 k 阶中心矩.
k
称EX kY l , k , l 1,2,为 X 和Y 的k l 阶混合原点 矩.
则称T 2为r.v.X的双侧分位数上 2分位数.
当X的PDFf x 不对称时:
第2节总体、样本与统计量
1.2.1总体与样本
一、总体与个体
研究对象的全体称为总体，把构成总体的 每个成员称为个体。 统计学关心的是研究对象（即个体）的某 个数量指标，那么将每个研究对象的数量 指标x称为个体，指标值的全体看作一个 总体。
连续的（计量数据） 离散的（计数数据）
6
（1）计量数据 计量数据取值可以通过某种量具、仪器等的测 定得到，它们可以取某一区间中的一切值。例 如轴的直径，钢材的强度，产品的寿命等都属 于计量数据。 （2）计数数据 计数数据取值是通过数数的方法获得的，它们往往 只能取非负整数。例如一批产品中的不合格品的个 数，铸件上的气泡个数等都属于计数数据。
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四、分位数
分位数常对连续分布来定义，连续分布函数F（x）的 (0 1) 分位数 x 是指满足如下等式的解：
P( X x ) 或F (x ) 设r.v.X的分布函数为F x , : 0 1, 若数F 满足 :
则称F为r.v.X的上分位数从PDF的图像理解. 当X的PDFf x 为偶函数时, 若数T 2满足 :
12
该密度函数呈对称钟形曲线形状
定理1.1.1
若
X N ( , )
2
则U

X
由该定理可知：
P ( a X b) (

) (
N (0,1)
)
b
a
b P ( X b) ( )

P( X a ) 1 (
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a

Cv s / x
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例：
某厂生产两种不同规格的轴，现在从每一种规格的轴 中各取10根，测得它们的直径的均值与标准差分别为： 产品A 均值为105mm，样本标准差为1.05mm 产品B 均值为1500mm，样本标准差为10.5mm 若从它们的样本标准差看产品B的直径的波动大，然而 产品B的直径也大，从而其测量误差也大，因而直接看 样本标准差就难以比较，为此我们计算各自的变异系 数分别为： 产品A的变异系数为1.05/105=1% 产品B的变异系数为10.5／1500=0.7% 由此可见产品B的直径的波动比产品A的小。
)
二、对数正态分布 LN ( , )
2
对数正态分布是偏态分布，一些产品的寿命、 故障的修理时间、化学变化的响应时间等都服 从对数正态分布，其概率密度函数如图：
p( x ) 1 2 x e
(ln x )2 2 2
,x 0
LN ( , 2 ) 的质量特性X有如下 服从对数正态分布