均值不等式复习课件

＋∞)上是增函数； 当 a<0， b<0 时， 可作如下变形： y＝－[(－ b ax)＋(－ x)]来解决最值问题．
2．均值不等式的实际应用 应用均值不等式解决实际问题时， 要注意把要求最值的 变量设为函数， 列出函数解析式时， 要注意所设变量的范围．
热点题型一
利用均值不等式求最值
[例 1]
[解析]
(1)由 x2＋y2＋xy＝1，得 1＝(x＋y)2－xy，
2 x ＋ y ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋ 4 .
2 3 2 3 解得－ 3 ≤x＋y≤ 3 . 3 2 3 当且仅当 x＝y＝ 3 时 x＋y 取最大值为 3 .
[答案] 1 (1)2 (2)B
[规律总结] 第(1)题是求函数的最值， 第(2)题是求一定 条件下代数式的最值， 基本的解题方法都是利用均值不等式 求解．
变式训练 1 (1)若实数 x、y 满足 x2＋y2＋xy＝1， 则 x＋y 的最大值是 __________． (2)(2013· 郑州模拟)设 a，b 是实数，且 a＋b＝3，则 2a ＋2b 的最小值是( A．6 C．2 6 ) B．4 2 D．8
答案：8
要点点拨
1．应用均值不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等 三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和 有最小值． (2)两次使用均值不等式求最值时，必须使两次等号成立 的条件同时成立，否则不可．
(3)使用均值不等式求最值时， 若等号不成立， 应改用单 b 调性法．一般地函数 y＝ax＋ x，当 a>0，b<0 时，函数在(－ ∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当 a<0，b>0 时，函数在(－ ∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当 a>0，b>0 时，函数在[－ b a，0)，(0, b a]上是减函数，在(－∞，－ b a)，( b a，
必考部分
第六章
不等式、推理与证明
第二节
均值不等式
考 纲 1.了解均值不等式的证明过程． 点 2．会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题. 击
理基础
悟题型
明考向
课时作业
研
知识梳理
a＋b 1．均值不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab b a (2) ＋ ≥ 2 a b (a，b∈R)．
(a，b 同号)．
a＋b 2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R)． a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)． 2 2
3．算术平均数与几何平均数
2 3 答Leabharlann Baidu： 3
1 2 5 ．已知 m>0 ， n>0,2m ＋ n ＝ 1 ，则 m ＋ n 的最小值为 __________．
解析：∵2m＋n＝1， 1 2 1 2 ∴m＋n＝(m＋n)· (2m＋n) n 4m ＝4＋m＋ n ≥4＋2 n 4m m·n ＝8.
n 4m 1 1 当且仅当m＝ n ，即 n＝2，m＝4时，“＝”成立．
2 (1)设 x>0，则函数 y＝x－1＋ 的最小值 2x＋1
等于__________． (2)已知 a，b，c>0 且 a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，则 a ＋b＋c 的最小值为( 1 A.2 C．2 ) B．1 D．4
[解析]
2 1 1 1 (1)y＝x－1＋ ＝ x－ 1 ＋ 1 ＝ x＋ 2 ＋ 1 2x＋1 x＋2 x＋2 1 1 3 1 1 1 x＋2· 1－2＝2，当且仅当 x＋2＝ 1，即 x x＋2 x＋2
解析：设矩形的长和宽分别是 x cm，y cm，则 x＋y＝ 10， x＋y 2 10 2 ∴xy≤( ) ＝( ) ＝25，当且仅当 x＝y＝5 时等号成 2 2 立．
答案：D
4． 若 0<x<1， 则 f(x)＝ x4－3x的最大值为__________．
解析：∵0<x<1，∴4－3x>0. ∴f(x)＝ x4－3x 3 3 3x＋4－3x 3 ＝ × 3x4－3x≤ × ＝ ×2 3 3 2 3 2 3 ＝ 3 ， 2 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝3时，“＝”成立．
基础自测
1．设 0<a<b，则下列不等式中正确的是( a＋b A．a<b< ab< 2 a＋b B．a< ab< <b 2 a＋b C．a< ab<b< 2 a＋b D. ab<a< 2 <b )
a＋b 解析： ∵0<a<b， ∴a< 2 <b， A、 C 错误； ab－a＝ a ( b－ a)>0，即 ab>a，故选 B.
3 －2≥2
1 1 ＝ 时取等号，所以函数的最小值等于 . 2 2
(2)由 a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，得(a＋2b)(a＋2c)＝1. 因为 a，b，c>0，所以 a＋2b>0，a＋2c>0.因此有(a＋2b) ＋(a＋2c)≥2 a＋2ba＋2c＝2，即 2(a＋b＋c)≥2，当且 仅当 a＋2b＝a＋2c 时，取等号．故 a＋b＋c≥1，所以 a＋b ＋c 的最小值为 1.
答案：B
2． 已知 m>0， n>0 且 mn≥81， 则 m＋n 的最小值为( A．18 C．81 B．36 D．243
)
解析：∵m>0，n>0， ∴m＋n≥2 mn≥2 81＝18 当且仅当 m＝n＝9 时，m＋n 取得最小值 18. 即 m＋n 的最小值为 18.
答案：A
3．用 20 cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则矩 形的长和宽分别是( A．7 cm,3 cm C．6 cm,4 cm ) B ．8 cm,2 cm D．5 cm,5 cm
a＋b 2 ，几何 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为
平均数为
ab ，均值不等式可叙述为： 两个正数的算术平
均数不小于它们的几何平均数
4．利用均值不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小 值是 2 p .(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋ y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 2 p 有最 大 值是 4 .(简记：和定积最大)