导数与圆锥曲线

导数与圆锥曲线

一．解答题（共16小题）

1．设函数f（x）=lnx+，m∈R．

（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；

（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．

2．已知函数f（x）=．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．

3．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

4．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若，求（a+1）b的最大值．

5．已知函数f（x）=e x﹣ax，其中a＞0．

（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．

6．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．

（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

7．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点

的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求

△AOB面积的最大值．

8．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y ﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．

9．设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

10．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．

11．已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

（Ⅰ）证明为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．

12．在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程

（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

13．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．

14．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．

15．如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2

﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．

（i）证明：MD⊥ME；

（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．

16．如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：

（Ⅱ）设直线AB的方程是x﹣2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

导数与圆锥曲线

一．解答题（共16小题）

1．设函数f（x）=lnx+，m∈R．

（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；

（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；

（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．

【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；

（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；

（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，

∴f′（x）=；

∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；

当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；

∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；

（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），

令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；

设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），

∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；