经济数学基础教案

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因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。 规定：01 x 从x 0的左右两侧无限接近于x 0,记x →x 0

02 x 从x 0的左两侧无限接近于x 0,记x →x 0-

03 x 从x 0的右两侧无限接近于x 0,记x →x 0+

04 x 无限增大时，用记号x →+∞

05 x 无限减小时，用记号x →—∞ 06 x 无限增大时，用记号x →∞

（2）点x 的δ邻域

N(x ，δ)=(x —δ，x+δ)，其中很小的正数，

X 的去心δ邻域N(x

ˆ，δ)=),(),(0000δδ+-x x x x . 1、 x →x 0时函数的极限

举例说明：x →1时，函数无限接近于多少？

观察：当：x →1时，f(x)=x+1，无限接近2

当：x →1时，g(x)=1

1

2--x x ，无限接近2

f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义

定义 1 如果当x → x 0时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A , 则称A 为函数

)(x f 当 x → x 0时的极限,记作0

lim x x →f(x)=A 或 A x f →)((当 x →x 0时).此时也称

)(lim 0

x f x x →存在。如果当x → x 0时, 函数)(x f 不趋近于任何一个确定的常数,则称)(lim 0

x f x x →不存在。

如 ： 2)1(lim 1=+→x x ，又如1lim →x 1

1

2--x x = 2

注意 ： f(x)=1

1

2--x x 在

处无定义, 但当

时,函数f(x)=1

1

2--x x 无限趋近于一

个确定的常数2,所以1lim →x 1

1

2--x x =2。

结论：函数)(x f 当 x → x 0时的极限是否存在，与)(x f 在点0x 处是否有定义无关.

如上举例f(x)=11

2--x x 在

处无定义, 但 1lim →x 1

1

2--x x = 2.

定义2 右极限 当x →x 0+，有A x f x x =+→)(lim 0

定义3 左极限 当x →x 0-，有A x f x x =-→)(lim 0

函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。 定理1 [极限存在的充分必要条件]

函数 )(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是，)(x f 当0x x →时的左右极限都存在并且相等.即 ⇔=→A x f x x )(lim 0

=-→)(lim 0

x f x x A x f x x =+→)(lim 0

注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。

例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限

⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2

,1x x x x y （当2→x 时） ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y （当0→x 时）

解：⑴ ∵ 3

lim ,2lim 2

2

==+-→→y y x x ，y

y x x +-→→≠2

2

lim lim

∴ 函数在指定点的极限不存在。

⑵ ∵0031

lim ,00sin lim 00=⨯===+-→→y y x x ，y y x x +-→→=00lim lim

∴ 函数在指定点的极限y x 0

lim →=0

定理2 ∞

→x lim f(x)=A ⇔+∞

→x lim f(x)=-∞

→x lim f(x)=A

（二）数列的极限

定义4 对于数列{n u }，如果当n 无限增大时，通项n u 无限接近于某个确定的常数A ，则称A 为数列n u 的极限，或称数列{n u }收敛于A ，记为∞

→x lim n u =A 或n u →A （n →∞）

定理3 [单调数列极限存在定理]

2、数零是唯一可作为无穷小的常数。

3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。

2、 一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。

当x →a （或∞）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当x →a （或∞）时，f(x)是无穷小量。

若数列{n a }的极限为0，则{n a }是无穷小量。

例如：0sin lim 0

=→x x ，所以，当x →0时，sin x 是无穷小量。

同样，当x →0时α

x (α>0)，1-cosx ，arcsinx 等都是无穷小量。 当x →+∞时，01lim

=+∞→n n ，所以{n

1

}是无穷小量.

都是无穷小量。

，，时，同样，当n n n x 21

112+∞→

定理4 极限与无穷小之间的关系：

，逆命题也成立。

为无穷小量其中。

则若0)(lim :)()()(,)(lim 0

=+==→→x x x A x f A x f x x x x ααα

无穷小量的性质

定理5 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 例如，当x →0时，x+sinx 也是无穷小量

定理6 无穷小量与有界量之积是无穷小量。 例如，当x →0时，xsinx 也是无穷小量。

推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。 例如，当x →0时，3sinx 也是无穷小量。 推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）

2、无穷大量

当x →0x （或±∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x →0x （或±∞）时，f(x)是无穷大量。记作0

lim x x → f(x)=∞,或f(x)→∞。

定义6 若∞=→)(lim 0

x f x x （或∞=∞

→)(lim x f x ）,则称)(x f 为当0x x →（或

）时

的无穷大量,简称无穷大。 如o

x →lim

x

1

=∞，表示当 时,

x

1

为无穷大.