高等代数第六章1

第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量

n 维列向量⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量

[]n T

b b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。

注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。

4.1.2 向量的内积

设[]T n a a a 21=α，[]T

n b b b 21=β

(1) 定义

称

∑==+++=n

i i

i n n b a b a b a b a 1

2211, βα

为向量βα,的内积。 (2) 性质

αββααββαT T ===,,

γβγαγβα,,,+=+

βαβα,,k k =

0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立

(3) 有关概念 向量的范数：α

ααααT ==,

单位向量：若

1=α，则称α为单位向量。

向量的标准化（规范化）；0≠α称α

α1

为α的标准化向量。

两向量的正交：若

0,=βα，则称βα与正交。

4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义

设m ααα,,,21 是一组n 维向量

(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使

m m t t t αααβ+++= 2211

则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。

注 设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()

m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。

(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。

(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成 立，则称m ααα,,,21 线性无关。

注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。

4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系

(1) β可由m ααα,,,21 线性表出⇔线性方程组[]βααα=x m ,,,21 有解⇔矩

阵[]m ααα,,,21 的秩等于矩阵[]βααα,,,,21m 的秩 (2)

m ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 有非零解⇔矩

阵[]m ααα,,,21 的秩小于m (3)

m ααα,,,21 线性无关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 只有零解⇔矩

阵[]m ααα,,,21 的秩等于m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论

(1) 仅含一个向量α的向量组线性相关⇔0=α

(2) 任何含有零向量的向量组必线性相关

(3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关

(4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相

关）

注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意m 个n 维向量，当n m >时必线性相关

(6) 向量组m ααα,,,21 )2(≥m 线性相关⇔m ααα,,,21 中至少有一个向量可

由其余向量线性表出

(7) 向量组m ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21m 线性相关⇔β可由

m ααα,,,21 线性表出，且表达式唯一

(8) 若向量组（I ）r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组（II ）s βββ,,,21 线性表

出，则s r ≤

(9) 不含零向量的正交向量组必线性无关

4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩

(1) 定义：设（I ）r i i i ααα,,,21 是（II ）m ααα,,,21 的一个部分组，并且满足：

①

r

i i i ααα,,,2

1

线性无关，②（II ）中任一向量()m k k ,,2,1 =α都可由（I ）

线性表出。则称部分组（I ）为原向量组（II ）的一个极大无关组，并称数r 为向

量组（II ）的秩，记作r （II ）或{

}m r ααα,,,21 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数

必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质：

① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价

⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立

⑥ 若向量组的秩为r ，则其中任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关

组

(3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

将n m ⨯矩阵A 按行或列分块

[]

n T m T T A βββαα

α 21

21=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

向量组（I ）T m T T ααα,,,21 ，（II ）n βββ,,,21 分别为A 的行向量组与列向量

组，则r （A ）=r （I ）=r （II ）

注1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式

注2 T m T T ααα,,,21 线性无关⇔ r （A ）=m

n βββ,,,21 线性无关⇔ r （A ）=n

注 3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变